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(︶^︶) [1033492] · MS 2021 (수정됨) · 쪽지

2021-05-15 01:06:01
조회수 2,606

좌표와 물리학, 근데 상대론을 곁들인

게시글 주소: https://orbi.kr/00037607996

 특수 상대성 이론은 관성좌표계 사이의 좌표 변환 방법에 대한 논의이다.


 사실 상대성 이론은 아인슈타인 이전에도 이미 존재하는 개념이다. 뉴턴은 이미 "모든 관성계에서 물리학은 동일하다"고 말했다.

 모든 관성계에서 물리학은 동등하기 때문에, A좌표계에서 현상을 기술하든 B좌표계에서 현상을 기술하든 근본적인 차이는 없어야 한다. 고전적으로는 이를 Galilean transformation(x'=x-vt y'=y z'=z t'=t, where S' moves relative to S along x-axis)으로 처리할 수 있다.


 고전역학의 좌표변환은 Galilean transformation을 통해 문제 없이 기술할 수 있다. 그러나 전자기학이 등장하면서 문제가 발생하기 시작한다. Galilean transformation은 전자기학을 모든 관성계에서 동등하게 기술할 수 없다.

 빛의 파동방정식 ∂²ϕ/∂x² + ∂²ϕ/∂y² + ∂²ϕ/∂z² - ∂²ϕ/c²*∂t² = 0이 Galilean transformation에 대해 variant함을 chain rule을 통해 간단히 보일 수 있다.

 다른 예시로 Lorentz Force F=qv×B가 Galilean transformatuon에 대해 variant함을 너무나 당연하게 알 수 있다.

 전자기력을 매개하는 입자는 광자이며, 광자는 광속으로 움직인다. 사실 힘을 매개하는 입자들의 질량은 0이며 항상 광속 c로 움직임을 상대론적 에너지 등을 정의하며 보일 수 있으나, 투머치인 것 같아 아마도 다루진 않을 것이다.


 어쨌든 이 문제를 해결하기 위해 고안된 좌표 변환이 Lorentz transformation이다. Lorentz transformation은 기존 "모든 관성계에서 물리학은 동일하다"는 가정에, "진공에서 광속은 일정하다"는 가정을 더하여 만든 좌표 변환이다(x'=x-vt/sqrt(1-v²/c²) y'=y z'=z t'=t-(v/c²)x/sqrt(1-v²/c²), where S' moves relative to S along x-axis). 그렇기에 속도가 광속보다 충분히 느린 영역에서 우리는 Galilean transformation을 잘 쓸 수 있는 것이다.

 그리고 다시 한 번, 이 변환이 위에서 언급했던 빛의 파동방정식이나 Lorentz force에 대해 invariant 함을 보일 수 있을 것이다.


 Galilean transformation에서 공간term과 시간term은 독립적이며, 시간term은 어느 관성계에서나 동일하다.

 Lorentz transformation에서는 광속 c를 보존해주기 위해서, 공간term과 시간term이 뒤섞인 것을 알 수 있다.

 우리가 물리학1에서 중요하게 배웠던 배웠던 length contraction이나 time dilation은 이 과정에서 튀어나온 부산물에 불과하다. 궁금하다면 이를 위에서 제시된 식을 통해 어렵지 않게 유도할 수 있다.


길게 주저리 주저리 썼지만 특수 상대성 이론의 핵심은, "광속을 보존하며 물리학을 보존하는 관성계 사이의 좌표변환"이다.


(* 좌표 변환 방식을 새로이 정의하며, 고전역학의 물리량들도 상대론적으로 다시 정의해야 한다. 궁금증이 있으면 상대론적 운동량, 에너지, 질량 등을 찾아보라. E=mc²이 멀지 않다!)


-------


 위에서 길이수축이나 시간 팽창은 상대론의 곁가지이며, 특수상대성이론의 본질은 관성계 사이의 "좌표변환"이라는 주장을 했다.



 물리학은 무엇을 공부하는 학문인가?

 아마 대부분의 물리학자들은 대칭성에 대해 공부하는 학문이라 대답할 것이다.

  뇌터 정리에 따르면, 연속적인 대칭성에 대해서 항상 그에 대응되는 보존량이 있다. 예를 들어, translation 대칭성에 대해 linear momentum 보존이 대응되는 식이다.


 아무튼 우리 우주는 translation에 대해 대칭성을 가진다. '좌표계를 어디서 잡든 상관이 없다'는 것이다.

  또한 좌표축의 설정은 관찰자가 마음대로 할 수 있는 것이다. '좌표계를 어떻게 잡든 상관이 없다'는 것이다.


 물리학에서 좌표는 중요하다.

 물리학 문제를 풀 때 우리는 좌표를 사용한다. 하지만 우리는 좌표를 어떻게 사용해야 하는지, 좌표에 나타낼 system을 어떻게 정의해야 하는지  배운 적이 없다. 또한 대부분은 크게 고민해본 적도 없을 것이다.


 따라서 무의식적으로 아무런 고민 없이 (x, y, z) 좌표계를 사용한다. 경험적으로 그렇게 해도 아무런 문제가 없었기 때문이다.


 상대성 이론 문제를 풀 때도 마찬가지로 무지성으로 좌표계를 선택한다. 여기서 문제가 발생하는 것이다.

  고전역학에서 사건은 뉴턴의 절대적인 시공간에서 일어나지만 상대성이론에서 사건은 Minkowski spacetime에서 일어난다. 무지성 좌표계가 더이상 통하지 않게 되버린 것이다.

(시공간의 metric이 다르게 주어진다!)

  


 그래서 이 글에서 하고 싶은 말이 무엇인가?

 상대성이론 문제를 4-벡터에 대해 좌표를 놓고 엄밀하게 풀어란 말인가?

 아니다. 절대 아니다. 그건 교육과정 바깥이다.

 사실 이 글에서 상대성이론 이야기는 좌표의 중요성을 알려주는 예시에 불과하다.


 이 글을 통해 하고싶은 말은, 좌표와 계의 의미에 대해 깊게 생각해보고 어떻게 하면 효율적인 좌표를 잡을 수 있는지 깊게 고민해보라는 것이다.


  위에서 지나가듯이 이미 논의한 사항이다. 좌표를 어떻게 설정하는가와 상관 없이, 고전역학의 문제를 풀어나갈 수는 있을 것이다.


그냥 수직으로 (x, y) 를 잡든, 빗면을 따라 기울어진 (x, y) 를 잡든, generalized coordinate q_j를 잡아 문제를 풀든 결과에는 차이가 없을 것이다.


 하지만 어떤 좌표계를 사용하는가에 따라 그 효율성은 대단하게 차이가 날 것이다.

 한 번 연습해보라. 같은 문제를 다른 시각으로 바라보려 노력해보라.



(* Generalized coordinate와 관련된 내용은 Lagrangian mechanics, Hamiltonian mechanics를 찾아보라.)

(* 지금은 귀찮아서 안하겠지만 언젠가는 뉴턴역학 이외의 방법으로 수능 문제를 푸는 수능st. 칼럼을 올릴 생각이다.)





3줄요약

1. 하루만에 갑자기 느낌와서 쓰려니까

2. 갈수록 귀찮아져서 용두사미처럼 되는 듯

3. 칼럼 많이 쓰는 사람들 대단해

rare-수정됨 rare-무지개 rare-진주환수학연구소 rare-레무링

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