반수생 고양이 [965109] · MS 2020 · 쪽지

2021-05-05 11:14:52
조회수 473

181030(나) 간단해설

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문제는 이러합니다


보통 저 띡하니 나와있는 조건 하나가 문제가 될 텐데요

혹시나 필요충분조건을 몰라서 틀릴리는 없을테니,,


눈을 조금만 크게 떠보면 

꼴로 변형할 수도 있고

꼴로 변형할 수도 있습니다


전자의 경우 y=-1과 x=a에서의 f(x)의 접선이 만나는 교점의 x좌표가 t이며 그 t의 범위가 -2<t<k 일때 가능한 실수 a의 값은 6 뿐이다.


후자의 경우 A(-2, -1), B(k, -1) 일때 점 A와 B를 포함하지 않는 선분 AB 위의 모든 점에서 f(x)에 그을 수 있는 접선은 a=6일때 뿐이다.


라고 각각 해석할 수 있습니다

뭐 각자 편한대로 해석하면 되겠지만 전 조금 더 편한 후자의 경우로 해설하겠습니다


그럼 이제 삼차함수의 개형을 생각해봐야겠죠

가장 기본적인 개형을 생각하면

위 사진처럼 삼차함수의 대칭점에서의 접선에 의해 영역이 나눠지게 됩니다

사진에 써져 있는 숫자들은 나눠진 영역에서 삼차함수에 그을 수 있는 접선의 개수이구요

그래프 위의 점에서 접선을 그으면 대칭점에서는 1개, 그 이외의 점에서는 2개씩 나오게 됩니다


어느 곳에서 접선을 그어도 1개 이상은 꼭 나오는 것을 알 수 있습니다

우리는 선분 AB위의 A와 B를 제외한 모든 점들에서 그은 접선이 다 "유일한 접선"을 나타내야 하므로

선분 AB는 x축과 평행하기 때문에 그 접선의 기울기는 "0"임을 추론해낼 수 있습니다


그렇다면 삼차함수의 극대 or 극소인 점에서의 접선이어야 하고, 그 접점의 x 좌표는 6입니다


x=6에서의 접선에 선분 AB가 포함되어야하는데, 점 A의 x좌표는 -2 이므로 

f(x)는 x=6일때 극솟값을 가짐을 알 수 있습니다


따라서 종합해보면

위와 같은 상황임을 알 수 있습니다


따라서

로 설정할 수 있으니 f(8)=39 입니다




작년에 가형 친 N수생들도 나형이라고 함부로 거르지 마시고 꼭 풀어보세요♡ 

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