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Inspector Javert [1005325] · MS 2020 (수정됨) · 쪽지

2021-05-01 21:29:14
조회수 9,496

정점 시절의 수학 흐름에 대한 설명.

게시글 주소: https://orbi.kr/00037436332

제가 실력이 최고 정점이었을땐


사실 문제를 푸는건 더 이상의 문제가 아니었어요


실모풀든 뭘풀든 다맞았고


애초에 교육청시험부터 시험끝나고 컴으로 옯 접속해서 답올리고 가기도 했고 ㅋㅋ


그래서 정점 시기에 최고로 중요한 문제는 

문제를 푸는 이론, 문제를 푸는 사상에 관한 것이었죠


이 문제를 사람이 풀라고 냈는지 풀지 마라고 냈는지는 중요한게 아닌거죠

결국 풀 수 있다는 사실 하나만 보고 가는겁니다.


풀 수 있는 문제를 냈을거 아니에요? 오류가 없고 답이 있는.


그런 생각으로 문제를 풀기 위해서 저는 알고리즘을 생성할 수 있는 알고리즘을 만들어야 한다고 확신했습니다. 


SI대 N 짧은길(번역 이거 아닌거 암 ㅇㅇ) 문제들이 참 예시로 좋은데... 안타까울 따름


그런 알고리즘을 가장 잘 보여주는건 제 171130 풀이입니다.(이전에 올린적 있음)




171130을 봅시다



뭐 풀이가 다양하게 있는데 저같은경우에는 현장에서는  진짜 급하면 극점풀이, 시간이 여유로웠으면 이풀이 썼을거같고 만약 제가 당일날 해설을 올렸으면 이런식으로 올렸지 싶습니다 



풀이


일단 모르겠고 우리가 다루는 함수가 뭐죠? f(x) 아닙니까? 그걸 다뤄 보자구요. 

우리가 구하는게 뭐죠? f(x)가 극값을 가지는 두 x값이랑 그떄의 f(x)의 극값이죠? 그죠?

그러려면 f'(x)를 구해서 이놈 부호가 변하는 걸 조사해야 됩니다. 그러려면? 미분해야죠.

몫의 미분법이네요. 전개하면 이렇습니다.


흠 위의 부분이 부호가 바뀌는게 핵심이네요. 적어 보면 g'(x)(x-a)=g(x)인 경우 아니겠습니까?

여기에서 변수가 뭐죠? x 아니겠습니까? 정리하면 g'(x)(x-a)-g(x)=0인 경우죠? 흠 근데 이 자료만 가지고는 우리가 g'(x)가 4차함수라는거 빼고 별거 없죠? 여기에서 갈립니다. 사실 이걸 여기에서 편하게 푸는 경우는 3가지가 있는데


1) 저게 접선의 방정식 꼴이라는걸 우연찮게 생각한 경우

2) 접선의 방정식이라고 보자마자 깨달은 경우(정보 누적)

3) 저걸 보고 접선의 방정식이구나 라고 깨달을 수 있는 방법까지 생각한 경우


사실 1),2)는 뭐 당연한거고

3)이 궁금하죠?


저는 이걸 저만의 추상화라고 부릅니다. 저만의 추상화의 code는 집합론입니다. 

자 우리가 구하는게 뭐죠? 이게 극값을 가지는 집합 아니겠습니까? 

자 저어기 수많은 x값들이 있는데 저 방정식을 만족하는게 뭔지 고민해야 되는 거에요. 그런데 우리가 x에 대한 방정식으로 보면 너무 복잡하죠? 그래서 저걸 a에 대한 걸로 다시 보는 겁니다. 왜냐구요? 해의 집합은 단순해야 하거든요.

그래서 우리는 저걸 그때 아~ 하고 접선의 방정식으로 볼수 있는 겁니다.


자 다시 봅니다


g'(x)(x-a)=g(x)


이걸 a에 대한 방정식으로 보는 겁니다. 왜냐? 그래야 해집합이 단순하니까요.

그렇게 보면 이건 (x,g(x))에서 그은 접선의 방정식이라는게 딱 보입니다.

이게 뭔 의미일까를 생각하면 되죠. 이정도가 연습의 경계라는 겁니다.

 이정도는 문제 많이 풀면 암기해서라도 보입니다.

자 그러면 계속하면 저게 0이라는건


alpha랑 beta에서 그은(만족하는 x의 값이니까)

접선의 방정식이 (a,0)을 지나죠?


그러면 우리가 말하는 "기울기 풀이" 의 전개방식을 무시하고 완벽하게 똑같은 결론을 얻습니다.

또한 극값이 같기에 접선의 기울기가 같고, 따라서 하나의 접선임을 알 수 있죠.

더 나아가 저게 0이 된다는게 접선을 그을 수 있다는걸 의미하기에.

즉, (a,0)에 그을 수 있는 접선의 개수를 따져 보면 

그게 3개라는걸 알 수 있습니다.

이로부터 함수 꼴도 나오죠.

나머진 계산이죠?



뭔가 못 느끼시겠습니까?


저는 저기에서 제 행동 하나하나에 제가 납득 가능한 설명을 달고 있죠.


 ”그냥 생각한다“ 같은건 없어요.

제가 목표로 한 것이 

제가 그냥 생각할 수도 있지만 물론(실력이 좋으니) 그런 가능성마저 배제함으로서 

그냥 생각하지 않고 모든 것을 하나의 원리 아래에서 생각할 수밖에 없는 경로를 최선으로 만들고자 작업을 하기로 생각했습니다. 제가 이런 경로로 설정한 것은 ”집합“이었습니다.


모든 수학적 상황은 집합 간의 관계로 설명될 수 있으며,

문제를 푼다는 과정은 기본적으로 연산이므로 집합의 카운팅을 최소화하고 효율적으로 바꾸는 것이 문제를 잘 푸는 것이라 하겠다.

따라서 다루는 집합의 수준을 최대한 단순하게 하는 것을 목표로 해야 한다.

집합의 수준이 단순하지 않다고 해도 문제를 해결할 수 없는 것은 아니나, 연산을 위한 집합의 수준을 최대한 단순히 한다면 연산과정이 단순해지는 것은 자명하기 때문이다.


171130에서 a를 기준으로 봄으로서 접선에 대한 것으로 문제를 바꾸는 것도 같은 맥락입니다. x에 대해서 정리한다면 4차식이기에 (a,b,c,d,e) 라는 수의 나열로 집합을 표현할 수 있으나 a에 대해서 정리한다면 (a,b)의 간단한 수의 나열로 집합을 표현할 수 있기 때문입니다. (1차식으로 정리한 거죠!)

따라서 학생들은 기반 지식을 쌓아올림으로서 수학의 기본적인 구조에 대한 정보를 저장하고

그것을 직/간접적으로 활용하여 문제를 푼다면 어떤 문제든지 빠른 속도로 해결할 수 있을 것입니다.


제 정점 시절의 방식의 특징은 하나입니다

모든 걸 하나의 원리 아래에 놓고

그걸 명제로서 증명한 상태에서


명제 자체의 불완전성이 드러나거나

제 연습의 부족으로 드러날 수 있는 한계를 부수기 위해


더 어렵고 더 어려운 문제를 만들고 푼 것


이게 답니다 ㅎㅎ


별거 아니죠?

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Inspector Javert [1005325]

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