Inspector Javert [1005325] · MS 2020 · 쪽지

2021-04-22 20:55:00
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2016년 서울대 수학 5번문제 해설.

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필자는

2020학년도 3월~수능까지 7월 확통 한문제 틀림

수학가형 강사 출제진 제의 다수

논술 의예 2개 합 카이스트 합

의 경력을 가지고 있습니다.


시간이 남아서 일찍 써봤습니다.


가장 쉬운 생각은 한 시작점을 잡고 각각에 대해 3가지씩 가능한 경우를 만들고, 불가능한 경우를 빼 주는 것이 될 것입니다. 즉 1번 학생의 값을 정하면 그 다음엔 자연스럽게 3가지, 그리고 또 3가지... 과 같이 되며, 이런 경우 중 끝에 –값이 되는 것을 막는 것입니다.

하지만 이 방법, 생각보다 어렵습니다. 수형도를 그리는 자신을 발견할 수도 있습니다.

그래서 밑의 문제를 봅니다. 그렇습니다. “곱” 으로 보는 것입니다.


1, +i, -i, 1의 경우, 


1을 고정으로 하고 +i,-1,+i 로 서로 곱해지는 것을 통해 표현할 수 있는 것입니다.

이 경우 –1을 곱하는 것은 거부됩니다. 따라서 

1, -i, +i만이 곱해지며, 이들의 값을 각각 a,b,c라 하면


a+b+c=n-1을 얻습니다.


이때 중요한 것은, |c-b|가 4k-2가 되어서는 안 된다는 것입니다. 

일반성을 잃지 않고 생각하면 

n개 중에서 n-4k+2, 즉 a를 고르고, 나머지 중에서 b를 고르는 것을 곱하여 더하면 됩니다.





위를 정리하면 다음과 같습니다.





이런 꼴은 많이 본 것 같습니다. 네 바로 이항정리입니다!

따라서 구하는 값은 위의 값을 3n-1에서 뺀 것이므로 이항정리의 전개에서 다음과 같이 정리됩니다.



이때 α, β는 조건을 만족하는 최대 수라고 생각하면 됩니다.


자 중요한 건, 저 값은 바로 계산이 안 된다는 겁니다.

이럴 땐? 다르게 생각해보면 됩니다. 우리가 지금까지 한 건 “순서대로 배치해 나가는 것“ 아니겠습니까? 왜 그랬을까요? 이게 자리가 정해졌기 때문이죠. 


자리에 값을 배정할 때 순서대로 배열할 수도 있겠지만, 순서가 중요하지 않다면, 그냥 ”배분“ 하는 것으로 이해할 수도 있습니다. 

따라서 도합 n개의 1,-i, +i를 배분하되, 이들 모두의 곱이 1이 되도록 할 수도 있는 것입니다.


이는 간단하게 앞의 방법과 같은 원리에 의해


1의 개수를 a, -i의 개수를 b, +i의 개수를 c라 하면


a+b+c=n, |b-c|=4k가 되므로



가 우리가 구하는 값이 되는 것입니다.


따라서 다음과 같이 적을 수 있습니다.




좌변의 2번째 항은 이항정리에 의해 쉽게 구해지며, ((2+1)n 과 (-2+1)n)


n이 2 이상인 것을 이용, 정리하면 

=(3n+(-1)n+2)/4


를 얻고, 1번째 학생의 값 4가지를 곱해 주면 답인


 3n+(-1)n+2를 얻습니다.



5-2


A1+B-i = A-i+B1 임을 보임으로서 쉽게 해결 가능합니다. 


Ax든 Bx든 한 쌍에 대해 한 개의 값만 존재하는 것입니다. 쉽게 말해서, 1, -i라는 쌍을 예로 듭시다. 여기에서 1은 B든 A에든 해당되지 않고, -i만이 해당됩니다. 즉, 8개의 항은 a,a꼴의 반복을 제외한 모든 가능한 좌-우 조합을 모두 대변합니다.


따라서 A1+B-i = A-i+B1 임을 보이는 것은 쉽습니다. 


A1+B-i 는 1,1 조합을 제외한 모든 1의 우측에 올 수 있는 조합인 1,+i와 1,-i의 쌍의 개수이므로, 1,1을 제외한 모든 1의 개수입니다.

A-i+B1 는 1,1 조합을 제외한 모든 1의 좌측에 올 수 있는 조합인 +i,1과 –i,1의 쌍의 개수이므로, 1,1을 제외한 모든 1의 개수입니다.


따라서 둘의 개수는 당연히 같습니다.나머지도 똑같이 보일 수 있습니다.



어떻습니까?


마법 같은가요?


제가 한 생각 중 특이한 건


1) 곱으로 보는 것


2) 다른 방법으로 구할 생각


입니다.

1)은 문제 조건에서 나오는 것이고


2)는 배분의 기본입니다.


우리가 처음에는 학생들에게 값을 주려 했고, 순서가 중요했지만,

"곱"의 개념을 다시 보니


순서는 중요한 것이 아닌 것이죠

결국 학생들의 순서는 정해졌으니까요.


이런 생각


배우고 더 해보면서 발전시켜 봅시다.

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