이런 문제 어떻게 접근하나요??

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Q. 두 자연수 m,n에 대하여 [m,n]은 다음 세 조건을 만족시키는 자연수를 나타낸다.
* [1 , n] = n+1
* [m+1 . 1] = [m , 2]
* [m+1 , n+1] = [m, [m+1 , n]]
다음 중 [2 , n]이 나타내는 자연수와 항상 같은 것은 ? [4점]
① 2^n ② 2^(n+1) ③ n ④ n+1 ⑤ n+2

문제 보고, 당황해서 멍~ 해지던데.. 이런 문제는 어떻게 접근하나요?

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애연 [417106]

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왓칭 · 444084 · 13/06/27 19:53 · MS 2018

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왓칭 · 444084 · 13/06/27 20:03 · MS 2018

답은 5번입니다.
[2,n]은 3번조건에의해 [1,[2,n-1]]이죠 이것은 1번조건에의해 [2,n-1]+1이구요 같은방법으로 계속하다보면 [2,1]+n-1 이되는데 이때 2번조건에의해 [2,1]은[1,2]고 이는3이므로 결과적으로 답은n+2입니다

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애연 · 417106 · 13/06/27 20:33 · MS 2012

우선, 댓글은 감사합니다마...
다만, 제 질문 의도를 잘못 짚으신 것 같네요. 질문이 다소 모호하긴 했습니다만
전, 어떻게 접근한지 물어봤지, 답&풀이를 요구한게 아닙니다...
'접근'이라 함은, 예를 들면, 간단한 숫자를 대입해서 식의 전체적인 전개방향을 예측하고 풀면된다 라거나, 주어진 식들을 이용해 이런이런 방식으로 점화식을 세우면 된다 이런 겁니다...
그리고, 송구스럽지만 '왓칭'님의 풀이가 옳은 것 같지도 않네요;;
~(생략)~ 2번 조건에 의해 [2,1]은 [1,2]이고 이는 (1번 조건에 의해) 3이므로 답이 n+2가 된다는건, 수학적으로 엄밀하지 않을 뿐더러, 3번 조건을 굳이 건드릴 필요도 없게 되죠....

답변 달아주신 것까진 감사하게 생각하나... 수학적으로 전혀 엄밀하지 못한 풀이는 아쉽네요...

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독학생 · 411353 · 13/06/27 20:27

n제에 있는 문제죠?
저는 이 문제 처음봤을때 모든 선지 구분할 수 있는 한 숫자 넣어서 맞는 거 찾았어요..
그렇게 풀지 말란 법도 없으니까요. 연역적으로 풀기에는 좀... 이틀만에 다 풀자는 생각으로 n제 사서 풀던거라 시간이 없기도 했지만요.
맞았는데 좀 찜찜해서 해설봤는데, 해설도 별로 맘에 안 들더라구요.
무튼 n제는 후딱 풀고 버리는게 좋은것 같아용 ㅋㅋ 연계도 아니어서..

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애연 · 417106 · 13/06/27 20:36 · MS 2012

네. 사실 저도 연역적으로 풀려고 고민하다가 도저히 식이 안 떠올라 '대입법'으로 풀긴 풀었는데
해설지는 연역적으로 풀긴 풀었더군요, 다만, 별로 좋은것 같진 않은 문제라 생각이 들어
"이렇게 난해한" 점화식 문제는 어떻게 접근하면 좋을지 궁금해서 질문올렸는데... 원하는 답변을 얻긴 힘들것같군요 ㅠㅠ

p.s 저만 문제가 별로라 생각한건 아니네요 ㅎㅎ

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왓칭 · 444084 · 13/06/27 21:11 · MS 2018

죄송합니다 모바일이라 설명이 많이 많이 부족했네요 ㅋㅋㅋㅋ
음 접근이 뭔지는 저도 알구요 저 풀이 보시면 어떻게 접근해야되는지 이해하실거라고 생각했는데 좀 더 자세히 알려드릴게요
저도 처음에 문제를 보고 많이 당황했습니다 이게뭐지 싶었구요 일단 구하고자 하는 걸 생각해보니 답이 나오더군요. 결과적으로 [2,n]이 뭔지만 구하면 되는것이니 [2,n]으로부터 조건을 이용해 답을 구하면 되겠네요.
그리고 나서 아래에 세 조건들을 봤더니 우선은 쓸 수 있는게 3번조건 뿐입니다. 그런데 이를 그냥 대입하면 [3,n+1]=[2,[3+n]]이라는 식이 나와서 오히려 더 복잡해지고 맙니다. 식을 간단하게 만드는게 목적인데 말이죠. 그럼 반대로 생각해봅시다 어떻게 해야 식이 간단해질까요? 그렇죠 m=1 n=n-1 이라 설정하면 식이 좀 더 간단해지고 [1,~]꼴이 나오니 1번,2번 조건을 이용하여 문제를 풀게 되겠구나 하는것을 알게 됩니다. 그럼 다시 풀어봅시다. [2,n]=[1,[2,n-1]] 이제 식이 좀 간단해졌죠. [1,[2,n-1]]은 1번 조건을 이용하여 [2,n-1]+1(1번식이라고 합시다)게 되었으니까요.
그럼 다시 [2,n-1]을 첫 번째 방법으로 고친다면 [2,n-1]=[2,n-2]+1이고 이를 다시 1번식에 대입하면 [2,n]=[2,n-2]+2가 되겠네요 즉 점화식이 탄생한거죠 [2,n]=[2,n-1]+1=[2,n-2]+2~
그렇다면 곧 n-1번 반복함으로써 조건 2번을 이용할 수 있음을 알게됩니다. 동시에 조건2번을 이용하면 다시 조건1번을 이용함에 따라 답이 나올것을 알게 되겠구요.
n-1번 반복해서 얻게 된 [2,1]+n-1이라는 식(2번식)에서 [2,1]만 구한다면 주어진 식의 값을 구할 수 있게 되겠네요!
[2,1]을 구하는 것은 아주 간단하죠 조건 2를 이용해서 [1,2]로 고치고 3이라는 값을 얻을 수 있으니까요. 이를2번식에 대입하면 결국 [2,n]=n+2 가 되겠네요 설마 답이 틀린것은 아니겠죠^^;;
물론 실제 수능에서 나온다면 빠르게 대입하여 답을 구하는게 현명한 방법이겠지만요
수능에서 점화식은 그리 복잡한 수준으로 나오지 않습니다. 오히려 이 문제에서처럼 간단한 경우가 더 많지요..몇 번의 실행을 통해 유도할수 있느냐를 묻는게 본질이지 복잡한 점화식을 풀어내라는 여태까지의 수능출제의도와는 맞지 않으니까요. 뭐 수리영역이 수학영역으로 바뀌면서 어떻게 될지는 모르겠지만요;;적어도 이 문제에서 요구하는 것은 보시면 아시겠지만 복잡한 점화식의 풀이라기보다 주어진 문제와 조건을 이용해서 답을 도출해낼수 있느냐 인것 같네요.
답변이 맘에 안드셔도 이게 제가 해드릴수있는 최선의 답변인것 같네요. 어떻게 보면 똑같은 말만 쓴 것 같은데.. 무튼 이런 문제가 또 나온다면 무엇을 구해야 하는지, 주어진 조건을 어떻게 이용할지를 파악하는 것이 제일 좋은 접근법일것같네요.
그리고 한가지 더 말씀드리면 문제를 낼 때 필요 없는 조건이란 없습니다. 그럼 조건을 왜냈겠어요. 조건을 꼭 참조해서 문제를 푸시길...ㅎㅎ

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왓칭 · 444084 · 13/06/27 21:14 · MS 2018

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왓칭 · 444084 · 13/06/27 22:01 · MS 2018

아 그리고 또 이해를 못하실까봐 그러는데 [2,1]=[1,2]=3이라서 답이n+2라고했으면 위에설명은왜했을까요^^;;이런식으로 대입해서풀면 보기에서 3n같은게나왔을때 바로낚인다는사실은 누구나다아는것이고 저는설마 이렇게이해하셨을거라고는생각못했는데 답글을다시보니 그렇게이해를하셨네요....마지막식에3을대입해서 n+2가나온겁니다 n=1이라고했을때3이나와서 n+2라고한게아니구요^^

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애연 · 417106 · 13/06/27 23:16 · MS 2012

아아~ 이제야 이해했습니다!
제가 아직 수학적 능력이 미흡해서, 짧게 설명하신 댓글로는 왓칭님께서 전하고자하는 바를 제가 다 캐치하지 못했네요.
길게 풀어주신 댓글로 모두 이해했습니다. 자세하게 설명해주셔서 감사드리고, 오해해서(?) 죄송합니다 ㅠ^ㅠ
올해하시는 일 모두 건승하세요^^

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