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일타삼피 [424982] · 쪽지

2013-06-27 01:11:13
조회수 9,503

공도벡 몇가지 팁(?)

게시글 주소: https://orbi.kr/0003722155

그냥 질문이 좀 올라오길래 도움 되실분만 되시라고 올립니다.



1.이면각 구하는 팁
평면α와 평면β의 이면각을 구할 때 제가 대부분 사용하는 풀이입니다.
(1)평면α 위에 한 정점 A를 잡습니다.(문제에서 제시된 점이나 그림에서 보이는 점으로 잡는게 좋아요.)
(2)A에서 평면β로 수선의 발을 내립니다. 그 점을 H라 하겠습니다. 그리고 AH의 길이를 구해요.
(3)H에서 평면α와 평면β의 교선 l에 수선의 발을 내립니다. 그 점을 P라 하죠. 그리고 PH의 길이를 구해요.
(4)이면각 θ에 대하여 tanθ=AH/PH 입니다.

(3)번에서 (4)번으로 넘어갈 수 있었던 이유는 삼수선의 정리입니다.
"AH⊥α, PH⊥l이므로  삼수선의 정리에 의거 AP⊥l 입니다. 따라서 이면각은 AP와 PH가 이루는 각이 되죠."
여기서 탄젠트 값을 먼저 구한 이유는, (2), (3) 수선의 발을 내리는 과정에서 길이를 구하다 보면 탄젠트값이 한 큐에 나와버리니까 편해서 그런 것이고요... 코사인 값은 (cosΘ)^2=1/1+(tanθ)^2 이므로 그냥 구하면 됩니다.
수능은 웬만해선 제곱을 물어보거든요. 그리고 언제 기출에는(평가원 모의고사인지 수능인지) tan값을 물어본 적도 있습니다.
결론은 이면각 구할 때 "수선의발 한번, 또 한번! 그리고 길이비=탄젠트" 로 게임 끝내자구요.ㅋ


2.벡터의 내적 팁(1)
"벡터PA 내적 벡터PB"에서 선분AB의 중점을 M이라고 합시다.
PA 내적 PB=(PM+MA) 내적 (PM+MB)=|PM|^2-|AM|^2
보통 최대, 최소 구할때 제가 쓰는 것인데 P만 동점이라면 |PM|만 변수니까 뭐 껌으로 풀리죠.
동점이 두개 이상인 문제에서는 상황에 따라서 쓰기 편할 수도 있고, 아닐 수도 있죠. 편할지 안 편할지는 문제 조건에 따라 달려있습니다.ㅋ 그래도 생각해볼만한 정리인건 확실한 것 같아요.

3.벡터의 내적 팁(2)
위에거랑 좀 다른 관점으로. 공간도형 문제에서 좀 두 벡터의 내적을 눈으로 좀 더 잘 볼 수 있게 하기(??) 위함이에요. 공간상에서 두 벡터 있으면 눈으로 보고 위치관계 이해하기가 좀 그렇잖아요.;ㅋ
평면α 위에 벡터a, 평면β 위에 벡터b가 있고 "a 내적 b" 를 구할 때.
벡터a를 평면β위로 정사영 시킨 벡터를 c이라고 하면
a내적b=c내적b 입니다. 공간상에서의(서로 다른 평면 위의) 두 벡터의 내적을 한 평면에서의 두 벡터의 내적으로 옮겨버린 셈이죠.
"벡터a와 벡터b의 시점을 α와 β의 교선위의 점(P)로 일치시키고 각각의 종점을 A,B(각각 α, β 위의 점)라고 하고, A에서 평면 β에 내린 수선의발을 H라하면,
a내적b = PA 내적 PB = (PH+HA) 내적 PB = PH 내적 PB = c내적b " (∵HA⊥PB)


1~3번은 그냥 알고 있으면 문제풀이에 쓸만한 정리입니다. 2번은 몰라도 3번 사고과정은 굉장히 유용해요.(구체적으로 어떤 문제냐고 물어보면 일일히 찾아봐야되서 일단은 스킵할게요..ㅠㅠ) 실제로 내적에서 수선의 발을 이용하는 경우가 상당히 많은데, 3번의 경우는 이를 공간으로 살짝 확장했을 뿐이죠.
그리고 1번은 제가 제일 사랑하는 풀이입니다. 제가 이면각 기출은 다(?..거의 다) 이렇게 풀었습니다.
물론 넓이 비로 구하는게 편한 경우도 있어요.



그리고 마지막 팁은
"삼수선의 정리는 '평면도형 문제에서 직각삼각형 보고 피타고라스 정리를 떠올리고 적용하는 것' 만큼 잘 아셔야 되요."
이게 되면 공간도형 파트는 끝납니다.; 나머지는 문제풀면서 익히면 되요.
실제로 1등급 이상 친구들은 삼수선의 정리는 무의식적으로 사용해버리기 때문에 아직 그게 안 되시는 분이라면 문제 풀이과정에 삼수선의 정리가 등장하는 순간 그 부분만은 반드시 '서술'을 하면서 연습하는 걸 추천드립니다..


아 그리고 문제에서 '직선의 방정식', '평면의 방정식' 이 구체적으로 나와있다면(문자로 나와있다 해도) 법선벡터, 방향벡터 서로 내적해보면서 위치관계는 꼭 확인하세요.
평행이나 수직이라는 결론이 나오길 기대하고 따져보라는 뜻입니다. 아니면 어쩔 수 없지만, 이거 벡터 내적해보는데 10초 정도면 되는 데다가 평행or수직인 위치관계가 나오면 문제풀이가 훨씬 수월해져요.


[참고로 추가하자면 2, 3번의 포인트는 전부 '벡터의 분해'이고, 이를 물어보는 문제에서 본 풀이과정을 따온 겁니다. 문제가 하도 많아서 구체적으론 모르겠지만.; 그리고 3번은 그 종이접어올려서 내적 구하는 문제에서 썼던 풀이로 기억합니다.]

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