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10032호 [1057907] · MS 2021 (수정됨) · 쪽지

2021-04-16 02:57:50
조회수 2,366

4모 30번 풀이/ 생각

게시글 주소: https://orbi.kr/00037192409

전 고정 100도 아니고 그저 새르비하다 심심해서 쓰는 글로 퀄리티를 보장할 순 없고 그다지 많은 내용도 담겨있지 않습니다.

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[1] 무한 등비


일단 n이 무한으로 갈 때 x값에 따라 그 양상이 다를 것이다.

학습된대로 케이스를 나누자면 


X>1

X=1

-1<X<1

X=-1

X<-1


5가지로 나눌 수 있고 x>1과 x<-1의 양상은 같으며 

지수가 2n꼴임으로 x=-1일 때 역시 정의 된다.


X>1 :a+(b)/x

X=1 :(a+b+1)/3

-1<X<1 : x/2

X=-1: (a-b-1)/3

X<-1: a+(b)/x


근데 a값과 b값을 모르니 무진장 난해하다.. 그래프를 제대로 그려 볼수도 없다....


[2] 교점의 개수5 와 개형 추론


여기서 제시된 조건! 일차함수 2(x-1)+m과 f(x)의교점을 Cm이라고 할 때 Ck=5인 자연수 k가 존재한다는 것이다.


Ck=5개 여기에 집중해야 한다. 


내가 나눈 구간도 5개고.. 교점도 5개니.. 뭔가 번뜩 싶지만 

차근차근 생각해보자. 


2(x-1)+m은 '일차함수'로 유리함수와는 근이 최대 2개, 일차함수와는 근이 최대 1개(일치하는 경우 ㄴ), 상수함수와의 근은 1개이다. 


교점이 5개 라는 것은 각각 1개의 교점을 가지고 있다고 판단할 수 있겠다. (유리함수는 양쪽에 각각 1개 있는 거임)


1. x=1일 때와 x= -1일 때의 점 모두 2(x-1)+m 위에 있으니


기울기가 2임을 이용해 계산하면 b=5란 것을 알 수 있다.


2. 본인은 '자연수' 내지 ,정수'라는 말도 꽤나 중요한 단서라 생각한다. 부등식의 영역이 어느정도 정해졌을 때 값을 확정할 수 있는 단서가 된다. 


지금 확인해주자면 2(x-1)+m은 (1,m)을 정점으로 하는 일차함수인데그 점이 점 (1, (a+b+1)/3)과 일치하므로 m=(a+b+1)/3= (a/3)+2라고 정리할 수 있다. m이 자연수임을 감안할 때 a는 3의 배수 정수꼴로 나와야 겠다. 


3.m을 확정 짓기 위해 a의 범위를 추려보자. 일단 교점의 개수가 5개려면 f(1)<f(1+)고 f(-1)>f(-1-)이다. 의에서 값을 가져와 부등식을 꾸려보면 0<a<4.5로 

a=3으로 정해진다...뜌둔.. k=3도 알 수 있다.


이제 그래프는 알아서 그려보고.. 교점의 개수를 판정해보자.


[3] 교점의 개수


X>1 :3+(5)/x

X=1 :(3+5+1)/3=3

-1<X<1 : x/2

X=-1: (3-5-1)/3= -1

X<-1: 3+(5)/x


1. X>1 :3+(5)/x: (1,8)을 경계로 교점의 개수가 바뀐다.

2. X=1 :(3+5+1)/3=3: 이거는 m=k=3일 때 아니면 아니다.

3. -1<X<1 : x/2 :x/2=2(x-1)+m의 방정식을 범위에 맞춰 풀자.

4. X=-1: (3-5-1)/3= -1: 이거는 m=k=3일 때 아니면 아니다.

5. X<-1: 3+(5)/x: (-1,-2)를 경계로 바뀐다. 


판단을 하면

교점이 225222211111111111...로 -1을 취하면 1141111000000....이다. (교점이 m>=8일 때 계속 1개라는 점에서 -1을 취해준 의도를 알아봐도 좋다.) 답은 3+1+1+4+1+1+1+1+0+0+0+0..으로

13이다.

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풀이야 생각의 과정까지 하나하나 적다보니 길어졌지만 그냥 과정대로 계산을 하면 그리 길진 않을 것이다.


킬러 문제를 볼 때 마음가짐 중


1. 관찰은 기본이다.

킬러문제인데 모두가 알만한, 혹은 적어주면 모두가 그릴 수 있을 만한 함수를 주진 않을 것이다. 우리가 잘 모르는 난해한 함수를 주는 건 당연한 것이고, 본인은 문제에서 제시해준 조건에 따라 그 함수의 개형을 추론하면 된다. 강의에서 이것저것(개형) 미리 배워두니 함수개형이  바로바로 안나오면 답답해하는 학생들을 종종 봤기에 하는 말이다. '관찰'이 기본이다.


2. 빨리 풀려고 하지 마라. 

케이스 분류도 해야하고 마지막 계산도 복잡한 게 킬러문제다.

열린 마음으로 길어진 과정도 받아들이자. 


Cf)

근데 무작정 늘어지면 불안한 것도 수험생으로서 당연할 것이다.

그럼 무엇을 근거로 풀이에 확신을 가지며 접근해야할까?


제 생각엔 계산은 구체적인 수치를 얻기 위한 도구입니다.

일단 문제 해결의 흐름이 얼추 그려지고 그걸 구체화하기 위해서 계산을 덧붙이는 것이고요. 답을 얻기까지의 사고과정이 메인입니다. 수학이 누가누가 복잡한 계산 잘하냐 대회는 아니잖아요? 본인의 실력을 키워서 자신이 파악하고 있는 문제해결과정에 믿음을 가질 수 있다면 긴장감없이 문제를 풀 수 있을 겁니다.


그리고 전 기출을 중요시 하는 사람인데 

제목을 붙인 [무한 등비], [교점 개수] 이런 걸 들어 보지 않은 학생은 없을 겁니다. 기출에도 각각 나왔을 수도 있고 다른 개념하고 어울려 나왔을 만한 소재에요. 그때의 판단 기준 내지 행동법을 상황에 맞춰 적용한 것입니다. 기출을 풀면서 적당한 도구들을 익혔으면 합니다. 


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