이 함수는 실수 전체에서 증가함수인가요?
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g(x) = (x+1)^3 (x ≤ -1)
0 (-1 < x < 1)
(x-1)^3 (x ≥ 1)
수특 수2 풀다가 막혔네요.. 저는 위 함수가 실수 전체의 집합에서 증가함수가 아니라고 생각하고 있었는데 증가함수가 맞나요..?
수특 수2 119쪽에 미지수가 포함된 특정 함수 f(x)를 주고 이 함수가 실수 전체에서 증가 또는 감소함수가 되도록 미지수의 범위를 구하는 문제가 있습니다
저는 f(x)가 실수 전체에서 증가함수가 되려면 f'(x)>0 이 되어야 하고, 감소함수가 되려면 f'(x)<0 이 되어야 한다고 생각하고 문제를 풀었는데요
풀이를 보니 f(x)가 실수 전체에서 증가함수가 되려면 f'(x)≥0 이 되어야 하고, 감소함수가 되려면 f'(x)≤0 이 되어야 한다고 나와있네요.
f(x)가 실수 전체에서 증가함수일 때 f'(x)≥0 이 되는건 알겠는데 (ex y=x^3)
(맨 위에 쓴 함수를 증가함수라고 볼 수 없다면) f(x)가 증가함수가 되기 위해선 f'(x)>0 이 되야 하는게 맞는 것아닌가요.. ㅠㅠ
[f'(x)≥0 이면 f(x)는 증가함수] 라는 명제의 반례 중 하나로 위의 g(x)같은 함수를 들 수 있다고 생각하고 있었는데 ㅠ
도와주세요
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예제 말씀하신것이죠? 역함수가 존재하기 위해서는 g(x)와 같은 꼴이어도 존재할 수 있어요. 역함수의 존재유무는 일대일대응이 핵심이고, 풀이에서 증가 또는 감소함수를 언급하며 조건에 '같거나'를 포함한 이유는 말뜻이 일대일대응이다 임을 보여주기 위한 것입니다~
아래쪽 유제요..ㅠㅠ 예제도 이해가 안가긴 하네요
그런데 제가 언급한 g(x)는 일대일대응이 아니지 않나요?
아 일대일대응이 아니네요 잘못봤어요. 아래쪽유제에서 같거나를 붙인 이유는 g(x)와 같은 함수가 아닌 도함수가 0일때가 일대일대응인 함수라서 마치 삼차함수 x^3과 같은 경우들이기 때문에 그래요. 보통 문제에서 주어지는 함수들이 그런 경우고, 같거나를 굳이 구분해야한다면 '어떤'함수 라고 주어져야해요~
아 임의의함수라는 말이 들어가야 하는군요 .. 감사합니다!
1. 임의의 실수 a, b 가 a2. 증가함수면 반드시 도함수는 그 구간에서 0보다 크거나 같아야 합니다.
3. 위 함수는 일정한 구간에서 상수 항수임으로 증가 함수의 정의에 부합하지 않습니다.
4. 달리 말해 도함수가 0인 구간이 한 점으로 존재한다면 증가함수의 정의를 충족할 수 있지만 범위를 갖는 구간으로 존재하면 a
감사합니다~
엄밀하게 말하면
f'(x)>0이어야 하지만
f'(x)≥0이면 되다고 말하는 건
f'(x)=0인 순간은 '딱 한 점'으로만 존재해서
증가함수의 정의인
x1에 위배되지 않기 때문입니다.
그러니까 보통 문제에서 주는 함수들은 f'(x)=0을 만족하는 곳이 점의 형태로만 나타나기 때문이라는 말씀이시죠?
네 그렇습니다.