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박주혁t [370907] · MS 2011 · 쪽지

2013-05-12 09:54:12
조회수 7,122

[수학칼럼] 기출의 일관된 흐름 (2)

게시글 주소: https://orbi.kr/0003676737



                                                          

                           (유모차에서 좋아하고 있는 얼굴들입니다^^ 불과 얼마전인데 더워보이네요 ㅋ)


안녕하세요? 오르비클래스에서 수학영역의 비밀을 강의하고 있는 박주혁t 입니다^^

주중에 한번 쓰려고 쓰려고 했는데ㅠ

쉽지 않네요ㅠㅜ 쪽지 답변하고 그러는데도 꽤 시간이 걸리고, 점점 학원에서의 상담과 질의응답은 많아지고 있습니다.ㅠ

여튼, 두번째 글을 이제서야 올리네요.


그리고, 공지로도 올라왔지만 수비 A,B형 모두 완강되었습니다~

개인적으로는 최상위권이라도 들으시면 도움이 될 만한 내용들이 있습니다^^

중위권이시라면 말할 것도 없고요.

항상 느끼지만 자작문제의 퀄리티가 참 좋네요~^^
포카칩님 문제는 항상 느끼지만, 수험생에게 정말 도움이 되는 문제들이라는 생각이 듭니다.


자, 오늘의 이야기를 시작해 볼까요?

--------------------------------------------------------------------------

지난번에 기출문제를 풀다보면 느껴지는 하나의 '흐름'이라는 것에 대해서 이야기 했습니다.

그래서 기출학습을 할 때는 무작정 문제만 반복해서 푸시면 레벨업이 힘듭니다.

2회독, 3회독으로 넘어가면서 '유사성' 과 '흐름'을 느끼시는 수준이 되면 레벨업이 진행되고 있는 것이지요.


이번에 할 이야기는 지난번 칼럼 마지막 문제에서 쓰인 "여사건" 입니다.





교과서의 표현처럼, 일반적으로 여사건은 '적어도~'라는 조건에서 쓰입니다만,

기출을 공부하다 보면, 여사건을 구하는것이 '편리'한 경우가 분명히 있습니다.



다시말해, 확률이나 경우의 수를 구해야 하는 경우, 우리가 머릿속에 넣어두고 언제든지 꺼내써야 하는 것 중의 하나가

"여사건" 인 것이지요.

"필요하다면 언제든지"가 포인트입니다.


이 문제를 보지요.





유명한 경우의 수 문제입니다.

아마 금방 푸실수 있거나, 이미 문제를 보는 순간 해답이 떠오르신 분들도 많을 것 이라고 생각합니다.
































당시의 EBS해설입니다.





흐음.
꼭 이렇게 풀어야 할까요? 다시 문제로 가 보겠습니다.




파란 밑줄이 힌트군요,

저 표현은, 전체에서 출발점=도착점인 경우를 빼면 된다는, 여사건을 사용하라는 힌트였네요.






그림 1번을 참고하면, 전체경우의 수는 4 x 3 x 3 x 3 이라는것을 알 수 있네요.

로봇을 길을따라 어느방향으로도 움직일 수 있지만, 한번 지난 길은 다시 갈 수 없기에,
처음 4방향  x 그다음 3방향 x 3방향 x 3방향 = 4 x3 x3 x 3 =108 입니다.




여사건을 사용해 볼까? 했으므로 출발점과 도착점이 같은 경우를 생각해보면, 그림2와 같이 총 8가지 경우군요.

따라서, 108 - 8 = 100 입니다.





이 문제는 문제에서 여사건의 힌트가 주어진 경우입니다.















하지만, 항상 그렇지는 않지요.

다음 문제를 볼까요?




이 문제도 유명한 문제네요.

이 문제 역시, 보자마자 풀이와 답이 떠오른 분들이 꽤 많으리라고 생각합니다....만,
풀어보는게 낫겠죠? ^^










































역시 당시 해설입니다.


뭐, 중복조합을 케이스 분류해서 풀어야 하는 전형적인 평가원 스타일이네요.
이 풀이가 틀리거나 나쁘다고 말하고 싶은 건 아닙니다만,

이 문제도 여사건으로 풀 수 있습니다.


다시 문제를 볼까요?


자, 조건에 집중해 봅시다.
왜 초콜릿은 '4개 이하'이고 나머지는 '이상' 일까요?

이 부분에 포커스를 맞추고 생각을 해보겠습니다.



이런식으로 생각할 수 있겠네요.

 그러면 X(초콜릿사탕)에 집중한 것이니까,




전체 사건을 이렇게 두면 되는군요!

 


자, 그럼 정리하겠습니다.




이런 상황이고, 음이 아닌 정수해 조건이므로 둘 다 중복조합입니다.


이므로, 


220- 35 = 185 가 답이네요.












어떠세요, 여사건이 조금씩 머릿속에 자리를 잡아 가시는 것 같으신가요?








모든 문제들이 여사건으로 풀린다는 말이 아님을 잘 알아두셔야 합니다.

하지만, '여사건을 사용했을 때' 반드시 효과를 보는 경우도 있음을 알아 두실 필요는 있다는 것입니다.





평가원 기출을 살펴보면, 직접나열 or 수형도를 그리는 경우가 가장 효과적인 경우가 있고,

지금처럼 여사건을 잘 생각해보면 상당한 이득을 보는 경우가 있습니다.












오늘 칼럼의 마지막 문제입니다.



너무 유명한 문제이죠?
다들 ' 아, 이거~ ' 라고들 하실거에요^^

그리고 실전에서 이 문제를 만나신 분들은 그 '아찔했던' 느낌도 기억나실 것 같습니다^^

우선 풀어보시고! (어렵습니다. 당시정답률 3~5% 추정)
물론, 풀이가 전부 다 생각 나시는 분들은 스크롤 하셔도 됩니다^^









































우선은 Ebs풀이입니다.




흐음... 뭔가 부족한 느낌이 드는데요? ㅋ

그래서 포카칩님의 풀이도 준비했습니다.





네, EBS 풀이는 a<b 인 상황에서 설명이 좀 스리슬쩍 넘어간 경향이 있네요 ㅋ

포카칩님 풀이가 정확합니다. 역시 -_-b



이제 풀이가 이해는 가셨을것 같고...

오늘 칼럼의 주제가 '여사건' 이 기출문제의 흐름 중에 있다는 거였습니다. 그죠?



자, 그럼 고1 교과서로 돌아가 보겠습니다.

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자, 굳이 교과서가 어디 것인지 말씀 안드리는 이유는,
이 내용은 교과서, 기본서 등등  ( 정석 , 개념원리, 바이블 등등....)에
항상 나오는 말 그래도 '기본적인' 개념이기 때문입니다.

자, 이 명제 관련된 내용을 통해 우리가 알 수 있는 내용은?


'어떤' 의 부정은 '모든' 이다. 라는 것이지요.


자, 2012 수능문제를 다시 볼까요?





a 도 b 도 9개 식이니까, 전체는 9  x 9 = 81 개 이고요,

'어떤' 이란 표현이 있으니 여사건을 생각할 수 있네요!!

기본개념을 꺼내어 사용하면, 우리는


이녀석이 문제의 부정이란 것을 쉽게 알 수 있고,
 
여사건을 이용하게 되면,

문제가 생각보다 쉬워진다는 걸 곧 깨닫게 되실 겁니다^^
(총 81개 에서 이 경우를 빼버리면 되겠순요~)


왜냐면, 우리가 그동안 기출학습을 제대로 해 왔다면, "모든"실수에 대해 성립하는 상황은 익숙한 상황이거든요.

하나라도 안되는 것을 찾아낸다면, 그 부분은 아예 날려버려도 가능합니다. 그죠?


자, 그러면  a < b 인 경우를 생각해 봅시다.




우리가 구해야 하는 상황은 모든 실수에 대하여 PQ의 길이가 10보다 커야 하므로,
t가 1 이상인 상황에서 (1),(2)는 절대로 답이 될 수 없음을 알 수 있습니다. (길이가 0인 경우가 생기니까요)

문제는 (3)인 상황인데,
t=1 인 경우가 PQ의 최솟값이므로,


인 상황을 만족하면 되네요. ( 1 이상 인 모든실수 t에 대하여)

  
그러니까 이런 부등식이 성립하냐 인데,

어차피 a도b도 2~10 까지의 숫자이므로 불.가.능. 하네요.

즉, a < b 인 경우가 모두 성립하지 않으므로, 생각할 필요가 없어졌네요^^


그럼 남은 것은
a >= b 인 경우이군요!!





이 경우는 두 그래프가 만나지 않으므로,
PQ의 최솟값이 10보다 크면 모든것이 ok 인 상황이군요!

t=1 일때가 최솟값이므로,

를 만족하는 것을 찾으면 됩니다.

문제에서 (a,b)=(4,5)일때가 성립한다고 했고, 우리는 지금 여사선인 상황을 따지고 있으니까,
반대로 생각해보죠.
(a,b) = (4,4) , (4,3), (4,2) 어? 다 성립하네요~
(a,b) = (3,3) , (3,2) , (2,2)는 성립하지 않는다는것은 이제 금방 알 수 있습니다~

즉, 여사건을 생각하더라도 주어진 예시 (4,5)는 그 기준을 잡는데 도움을 주는군요!

그럼, 이제 답을 계산할 때 이군요~
주어진 조건을 만족하는 순서쌍은,

(4,4) , (4,3), (4,2)   : 3개
(5,5) ,(5,4) ~ (5,2) : 4개
(6,6),(6,5) ~ (6,2) : 5개
....
(10,10,),(10,9) ~ (10,2) : 9개


이므로  3 + 4 + 5 + ... +9 = 42 이네요~

즉,



입니다.

설명이 좀 길었지만,

여사건이 어떤식으로 사용되어지는지 아셨을 거라 생각합니다.


앞에서도 계속 말하고 있지만,


모든 문제들이 여사건으로 풀린다는 말이 아님을 잘 알아두셔야 합니다.

하지만, '여사건을 사용했을 때' 반드시 효과를 보는 경우도 있음을 알아 두실 필요는 있다는 것입니다.

그리고 경우의 수 or 확률에서는 이것이 매우 중요합니다.


오늘은 여기까지 하죠! ^^
주말 잘 보내시고요~



p.s. I  공도벡 킬러대비는 준비중이고요~ 베르테르님과 협의는 끝났고, 100문제정도 진행할 생각입니다 ㅋ

p.s. II  포카칩 모의평가 예비시행은, 가능하면 온라인응시를 하세요^^
          6평대비에 상당한 도움이 될 겁니다~





박주혁t 자기소개 : http://orbi.kr/0003633088
박주혁t 인강(수학영역의 비밀) : http://class.orbi.kr/group/2/

제 칼럼은 오른쪽에 제 사진 아래 태그를 클릭하면 주욱~ 뜹니다~^^

 

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