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Evolved Slave II [872525] · MS 2019 · 쪽지

2021-03-06 12:50:41
조회수 6,374

다항함수에 대한 이해는 이거 하나로도 대략은 나옵니다.

게시글 주소: https://orbi.kr/00036576875

※물론 이 풀이 전체를 현장에서 모두 생각해서 푸는 건 매우 비효율적입니다. 현장에서는 이 중에 본인에게 맞는 가장 쉽고 빠른 풀이로 가볍게 풀고 넘어가는 게 가장 중요합니다. 


다만 다시 기출문제를 풀어보면서 '음....내가 여기서 물어보는 내용을 다 알고 있는 건가 아님 그냥 그 중 한 개만 알고 있는건가?'에 대해 궁금하시면 참고해보시길 바랍니다.


자그마치 24년 전에 출제된 수능 문제입니다. 이 문제는 크게는 4가지, 세부적으로는 5가지 풀이가 존재하는데,



1번 풀이: 오히려 너무 기본적이고 계산 위주 대수 풀이어서 다들 안 할 것 같은 풀이입니다. 


f(x)=ax³+bx²+cx+1에서, f'(0)=f'(1)=0인 걸 알아내고 f'(x)=3ax²+2bx+c에서, c=0, 3a+2b=0을 구해냅니다. 그리고 f(1)=a+b+c+1=a+b+1=0에서 두 연립방정식을 이용해 a=2, b=-3임을 구해내 a²+b²+c²=13임을 구합니다.


2번 풀이: 아마 수능에서 가장 많이 볼 수 있는 풀이일 겁니다. 크게는 한 가지 풀이지만 표현 방식에 따라 2가지 풀이로 갈리는데,


(1) f(x)=ax³+bx²+cx+1이고, f'(0)=f'(1)=0에서 f'(x)=3ax(x-1), f(1)-f(0)=integral 0 to 1 f'(x) dx=-a/2=-1에서 a=2, 계수비교법에 의해 2b=-3a=-6에서 b=-3, c=0이므로 a²+b²+c²=13


(2) f(x)=ax³+bx²+cx+1에서 f'(0)=f'(1)=0, f(1)=0이므로 비율 관계에 의해 f(x)=a(x+1/2)(x-1)²임을 알 수 있다. f(0)=a/2=1에서, a=2이고, 계수 비교법에 의해 b=-3a/2=-3, c=0이므로 a²+b²+c²=13


3번 풀이: 아직 수능 풀이에선 많이 드문 풀이입니다. 갠적으로 이걸 편하게 쓰는 분은 거의 없다고 봅니다. 굳이 더 알고 있다고 훨씬 효율적인 풀이라고는 생각하지 않지만 사고의 틀은 확실히 넓어지므로 소개하겠습니다.


f(x)=ax³+bx²+cx+1에서 삼차함수이므로 특정점에 대한 점대칭이고, f'(0)=f'(1)=0이므로 (1/2,1/2)에 대해 대칭임을 알 수 있다. 따라서 f(x)는 다음과 같이 표현이 가능하다.


f(x)=a(x-1/2)³+m(x-1/2)+1/2(m은 상수)

f(0)=1=1/2-m/2-a/8이므로 m+a/4=-1

f'(x)=3a(x-1/2)²+m에서, f'(0)=m+3a/4=0이므로 연립하면 a=2, m=-3/2. 계수비교법에 의해 b=-3, c=0임을 알 수 있으므로 a²+b²+c²=13


4번 풀이: 수능에서 좀 고인물들이면 다들 한 번 생각해보는 풀이입니다. 갠적으로 현장에선 2,4번 풀이는 꼭 생각났어야 한다 봅니다.


극대, 극소인 x좌표 차이가 1, 극솟값 극댓값 차이가 1이므로 a/2=1, a=2 x=1에서 기울기가 0이므로 c=0, x=0에서 기울기가 0이므로 a,c값을 대입하면 b=-3. 따라서 a²+b²+c²=13



해당 문제를 혼자 공부할 때 보고 1, 2번 밖에 생각이 안 났다면, 아직 기출문제는 더 파고 들 필요가 있습니다. 아직 못 발견한 성질들이 분명 존재합니다.


rare-경찰 오리비 rare-기출파급 미적분상 rare-기출파급 수학2상 rare-골드바

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