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승리의물2러 [1042459] · MS 2021 · 쪽지

2021-03-04 21:07:28
조회수 919

[보충]조립제법과 다항함수 정적분의 관계(feat. 테일러)

게시글 주소: https://orbi.kr/00036559005

우선 어제 제가 작성한 칼럼이 있는데 그에 대한 보충(유도과정) 및 확장 버전입니다.


어제 작성한 칼럼 링크 


1. 아이디어 생각 과정


저는 정적분 문제를 여러방향으로 푸는 것을 좋아합니다.

그 중에서도 대칭성을 활용해서 적분하는 것을 가장 선호합니다.


그 와중 '다항함수의 정적분 식이 적분구간에 대해 대칭성이 보이지 않아도

그 어떠한 정적분이라도 식 조작을 통해 대칭성을 사용할 수 있지 않을까?' 하는 생각이 들었습니다.


방법은 간단했습니다.

임의의 다항함수가 있으면

그 식을 (x-적분구간의 평균)으로 내림차순 정렬을 하면

적분구간에 대해 대칭성을 인위적으로 만들 수 있다고 생각했습니다.


예시를 들자면

적분구간이 [5/3, 7/3]이 있다면 다항함수를 (x-2)로 내림차순 정렬시키는 것입니다.

삼차 식이라면 a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)1+d꼴로 정리시키면 간단하다고 생각했습니다.


이렇게 정적분을 하면

a,c를 포함한 항은 점대칭에 의해 증발할 것이고

b,d를 포함한 항은 선대칭의 성질을 이용할 수 있습니다.



2. 고민


위의 아이디어를 살리기 위해 이제 a,b,c,d 등 새로운 계수를 찾는 방법에 대해서 고민해볼 차례입니다.

처음으로 생각난 것은 모양이 테일러 전개의 꼴 이므로 미분을 하는 방식에 대해 생각해봤습니다.


위의 예시를 끌고 오자면

삼차식에 2를 대입하면 d가 나올 것이고

미분해서 2를 대입하면 c(근데 홀수차수항은 구할 필요는 없음)

이계미분해서 2를 대입하면 2b

최고차항의 계수는 원래형태의 함수와 계수가 같을 것이므로 최고차항 계수는 쉽게 찾을 수 있습니다.


즉 일반화 시켜보자면 미분을 통한 방법을 하려면

n차 방정식의 경우 n-1번 미분해야 하는 것입니다.(최계는 그냥 나오니)


하지만 이러면 조금 번거로운 감이 없지 않은 것 같고

많은 미분연산이 도입되어야 하므로 계산실수의 확률이 증가할 것이라고 생각했습니다.


이에 새로운 방법을 생각해봤는데

생각해보니 이미 교과 내에 저 식을 완벽하게 정리하고 훨신 쉽게 계수를 다 찾아낼 수 있는

유용한 도구를 배운 것이였습니다.


그거슨 바로 조립제법입니다.


이제 저는 조립제법을 통해서 다항함수 정적분을 예쁘게 일반화 시킬 수 있는 방법을 고안해낸 것이었고 이는 확신으로 바뀌었습니다.


1. 평균으로 연달아 조립제법 후

2. 적분구간이 절댓값이 같고 부호 다르게끔 평행이동

3. 홀수차수항은 원점대칭이므로 소거 짝수차수는 y축 대칭이므로 0부터 적분하고 2배


이를 일반화시키면 다음과 같습니다.(짝수차수는 자명하게 알 수 있습니다)


이제 이 식의 예시나 장점에 대해서는 링크를 통해 확인하시면 좋을 것 같습니다.

어제 작성한 칼럼 링크 

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