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과거회상 [768353] · MS 2017 · 쪽지

2021-02-11 23:43:35
조회수 622

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과거회상 [768353]

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  • 큰바다넓은하늘 · 820752 · 21/02/11 23:56 · MS 2018

    18?

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  • 피 카 츄 · 738994 · 21/02/12 00:51 · MS 2017

    맞는 거 같아요

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  • 피 카 츄 · 738994 · 21/02/12 00:51 · MS 2017

    어떻게 푸셨어요?

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  • 큰바다넓은하늘 · 820752 · 21/02/12 01:01 · MS 2018

    풀이 깔끔하네요! 저도 벡터 내적으로 해석해서 기울기가 -3인 직선과 y축의 양의 방향이 이루는 각을 @라 할때 구하는 곡선의 길이는 2@이므로 tan@=1/3인 삼각형 그려서 답을 구했습니다
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  • 피 카 츄 · 738994 · 21/02/12 01:11 · MS 2017

    아 아크탄젠트를 안 쓰고 어떻게 하나 싶었는데
    직각삼각형을 이용하면 되는군요 훨씬 쉽네요...ㄷ

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  • 피 카 츄 · 738994 · 21/02/12 00:51 · MS 2017

    g(x)= arctan(x/3) (domain: R)

    시점이 원점이고 종점이 각각 곡선 g상의 점P와 단위원 상의 점Q인 벡터의 내적이 0이므로, 원점에서 점P에 이은 선분과 점Q에 이은 선분이 이루는 각 중 작은 값은 π/2이다.

    이때 y=g(x)의 그래프 개형을 고려해보자. 우측으로 갈 때 y=π/2를 점근선으로 가지며 위로 유계, 좌측으로 갈 때 y= -π/2를 점근선으로 가지며 아래로 유계이다. 또한 증가함수이며 x=0에서 변곡점을 가진다. x=0의 좌측에선 아래로 유계인 점근선을 가지므로 아래로 볼록, 우측에선 위로 유계인 점근선을 가지므로 위로 볼록이므로 변곡점에서의 미분계수가 미분계수의 최댓값이다.
    g'(x)=1/3{1+(x^2/9)} = 1/{3+(x^2/3)}= 3/(9+x^2) -> g'(0)=1/3

    평균값정리를 고려하면, 원점에서 t>0인 곡선 g(t)상의 점을 이은 선분의 기울기 역시 1/3보다 작음을 알 수 있다. 그리고 이 기울기는 arctan(t/3) / t로 표현되며, t-> inf일 때 0으로 수렴하므로 기울기의 범위를 (0, 1/3)로 설정할 수 있다.
    이를 각의 범위로 나타내면 (arctan0, arctan(1/3))=(0, arctan(1/3))이다. 범위내에 포함된 각들과 직각을 이루는 각의 합집합은 (0+π/2, arctan(1/3)+π/2)U(0-π/2, arctan(1/3)-π/2)인데, 부채꼴의 길이를 구하여야 하므로 각의 크기를 더하면 총 각의 크기는 2arctan(1/3)이다.

    반지름의 길이가 1이므로 부채꼴의 길이는 그대로 2arctan(1/3)이 된다.

    (k+1)π=2arctan(1/3)
    -> k= 2arctan(1/3)/π -1
    -> sin kπ = sin(2arctan(1/3)-π)
    = sin(2arctan(1/3))*cosπ - cos(2arctan(1/3))sinπ
    = -sin(2arctan(1/3))
    = -3/5
    제곱하면 9/25
    9/25 * 50= 18

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  • 과거회상 · 768353 · 21/02/12 00:54 · MS 2017

    뻘글 쓰느라 피드 못보고있었네요..
    정확한풀이에 정답도 맞으십니다!
    의도는 at+bg(t)=0에서
    g(t)/t =-a/b로 변형 후 곧,
    좌변의 식이 원 위의점 P(a,b)의 수직에 대한 자취들이므로 직관적으로 파악할수 있는 것이 의도였습니다!!

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  • 과거회상 · 768353 · 21/02/12 00:56 · MS 2017

    원 위의점 P -> 원 위의 점 Q ㅎㅎ;;

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  • 피 카 츄 · 738994 · 21/02/12 01:11 · MS 2017

    아 윗분말씀을 보니 직각삼각형 피타고라스를 쓰면 되는 군요

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  • 과거회상 · 768353 · 21/02/12 01:13 · MS 2017

    정확하십니다

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  • 피 카 츄 · 738994 · 21/02/12 01:10 · MS 2017

    근데 제 풀이 표현이 너무 교과외여서 조금 그렇네요

    아크탄젠트관련해서 g'(0)은 역함수 미분법 사용해서 구할 수 있고...
    각표현을 ?라고 할 때 tan(?)=1/3이니깐
    3tan(?)=f(?) =1 -> ?=g(1)
    요런식으로 해서 제 아크탄젠트(1/3) 부분을 싹다 g(1)로 대체하면 되긴 하는데..
    이경우엔 마지막에 kπ, (k+1)π에 관해서 정리할 때 어떻게 해야되는 건가요?

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