(lnx)^2/x 그래프 개형
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lnx/x 에서 x가 무한대로갈때 0+ 인거 알겠는데 (lnx)^2 /x 에서도 왜 0+인지모르겟어요
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(lnx/x)^2×x으로 생각하면 어떤가요
잘 이해안가요...
로피탈로 바로 체크 가능
아 근데 로피탈쓰면 0- 로 가지않나요?
분모분자 한번씩 미분하면
2lnx / x
이것도 0/0꼴이므로 다시 한번더 해주고 약분하면 2/x 이는 무한대로 갈 때 0+쪽에서 0으로 수렴
아 곱미분했네 미쳤나봐
무한대 무한은 로피탈이 일반적으로 성립 안 하는데요...?
분모 분자 둘다 무한대로 가면 성립하지않나요? 역수로 치환하묜?
음 미분했을 때 극한값이 존재하는 경우엔 성립하지 않나요? 다항+ 삼각함수 합성 같이 미분하면 진동하는 경우가 아니라서요
해당 명제 증명을 해보진 않아서....한 번 식으로 엄밀히 증명을 글로 방금 올렸어요.
역수로 치환과는 무관하게
음 제가 해석학 들었을 때는 미/미의 극한값이 존재하면 0/0, 분모 무한대꼴 모두 미/미 극한값과 동일하다고 했던 걸로 기억해서 흠...
해석학을 배워본 적은 없고 독학따리라 배웠다면 저는 반박할 수는 없군요.....함 증명해볼까
머단하십니다 ㄷ
x가 무한대로 갈 때 lnx/x=k라 하자. ln(1+x)/x>k이고, {ln(1+x)-lnx}/x은 y=1/t을 x부터 x+1까지 적분한 값을 x로 나눈 값이므로
1/x(x+1)<{ln(1+x)-lnx}/x<1/x^2이 성립한다.
따라서 lnx/x<ln(1+x)/x<k+1/x^2에서,
(lnx)^2/x=(lnx/x)^2×x<{ln(1+x)/x}^2×x < x ×(k+1/x^2)^2이 성립한다.
k가 0으로 수렴함을 알 수 있으므로 k+1/x^2<1/x+1/x^2에서 x(k+1/x^2)^2<1/x × (1+1/x)^2에서, x가 무한으로 갈 때 0으로 수렴함을 보일 수 있다.
왜 인강책에서는 x무한대로 가도 성립한다고 나와있지...
반례는 고교과정이 아닌가요?
예를 들어 x^2 + sinx / x^2은 무한대분의 무한대인데, 그 극한값이 1입니다
하지만 다항함수를 소거하기 위해 로피탈을 사용하면 2-sinx /2가 되면서 발산합니다 이런경우 미/미(사실 이계도함수지만)의 극한이 없기에 로피탈을 사용할 수 없는 극한계산이고, 그 외에 극한값이 존재하면 사용하는데 문제가 없다고 알고 있음
그런데 왜 이계도함수로 구하셨나요. 분모분자 한번미분하면 극한값1로 자명하지않나요
2x-cosx/2x 는 x무한대로갈때 1아닌가요. 이경우 로피탈쓴게 아닌가요
음 사실 사인함수의 치역과 이차함수의 증가속도를 생각했을 때 첫식으로부터 1이 나옴도 수능적인 입장에선 자명한데, 1번에서 무한대/무한대이므로 로피탈을 사용 -> 이때 도/도의 극한의 결과를 모른다고 가정하고 도/도 역시 무한대/무한대이기에 한 번더 로피탈 사용 -> 이계/이계 발산 -> 어? 로피탈 못쓰네 이런 흐름입니다
정리하자면 1. 로피탈쓰기전 극한값을 모르겠다 -로피탈사용- 수렴값 나옴 - 정답
2.로피탈쓰기전 극한값을 모르겠다. -로피탈 사용- 발산 나옴- ???
2. 로피탈쓰기전 극한값이 대충 수렴 - 로피탈 사용- 수렴값 나옴- 정답
3.로피탈쓰기전 극한값이 대충 수렴 - 로피탈 사용- 발산 나옴 - 로피탈 불가
넵 ???의 경우는 반복적으로 더 사용하면서 정답 발견할 수 있고... 근데 3의 경우엔 거의 다 로피탈 없이도 쉽게 구할 수 있는 것들이라서 어지간하면 다 구해진다고 보시면 될듯. 다만, 삼각함수막 곱해져있고 몫의 미분법 막해야돼서 할 수록 복잡해지는 건 써봤자 더 복잡해지니깐 안 쓰는 게 좋구