수학 질문좀요
게시글 주소: https://orbi.kr/0003366599
X>0, Y>0이고 X+Y=2일 때, 1/X+4/Y의 최소값을 구하는 문제인데요.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
러셀 중계에 질의응답 조교 있나요?
-
대충 평가원 백분위 95~96정도 되려나? 수학 수능이었으면 85점이 백분위95정도 예측해봄
-
안녕하세요 현재 기출들로 한 회씩 1일 1실모 오답까지 하고 있는데 작년 6모...
-
삼성 위기지 2
구자욱 나가린데 진짜 쓰레기같네
-
난 시즌1보다 점수 안나오던데....
-
문학에서 다나간 1인...이게 점수 보존의 법칙이라는건가...
-
미적으로 가면 할거 ㅈㄴ 많은데 수2라서 기껏해야 다항함수 미분 적분 하니까 뭔가 쓸게 없음
-
Ebs 홈피/구글링해도 안 나오는데, 링크 부탁드림
-
언 미 사문 생명 96 88 2 50 37 서성한 목푠데 가능할까요ㅇ
-
국 90 수 80 영 1 생 50 지 46 국수커로에 탐구는 커하임 10모기준...
-
오히려 삼성의대체재가 우리나라에 생길 가능성도 있는거 아닌가요
-
의문사가 우수수~~
-
예전에 비해서 많이 느려졌는데 다들 큐브 그만두신 건가요? 예전엔 올리면 바로바로...
-
국어: 국어는 늘 1등급이긴 했는데 이번에 좀 쉬웠던것 같음 수학: 얘도 뭐 그렇게...
-
고2 9모까지 물리 표점 물화생지에서 그나마 높았는데 이제 고3처럼 1등급 표점...
-
비록 10모지만 9모에 비해 올랐습니다... 여러분들도 수능엔 점수가 많이 오르시길...
-
맨날 놀러다니고하더니 공부는 또 졸라졸라 잘해서 수능잘봤는데 뭔가뭔가임
-
난 공부를 안해 1
이렇게 살면 수능 끝나고 어떻게 되는지 알면서도 공부를 안해
-
다 풀고나서 해강 거의 다 들음? 맞힌 문제도? 아님 틀린거나 막힌것만? 강x랑...
-
1학년때부터 학원 진도 어슬렁어슬렁 따라간 거 빼고는 딱히 국어 공부 열심히 해 본...
-
10모 억까 4
학교 스피커 고장으로 영어 듣기가 안나와서 단체로 멘붕...생애 처음으로 3등급 맞았어요 야발...
-
15번 노가다 해서 풀 수 밖에 없나요..? 갯수가 16개라 포기했는데 딴 방법은 없나
-
어떻게 하나요? 제가 오늘 그랬거든요 내용이 머릿속으로 들어오질 못하고 눈만 열심히...
-
5000부 판매돌파 지구과학 막판 핵심모음자료를 소개합니다. (현재 오르비전자책...
-
재수학원 관두고 스카로 런하는거 어떰 한달남기고 공황있는데 가끔 숨 안쉬어지면...
-
메가1컷은 84인데 이투스1컷은 86이라ㅠㅠ
-
'챗GPT o1' 등장에 프로그래머들 긴장…코딩 자동화 현실화되나 1
최근 오픈AI가 출시한 '챗GPT'의 신형 모델 'o1'이 뛰어난 코딩 능력을...
-
국어 과기 지문 젤 못한다고 생각해서 Omr포함 8분정도 남기고 풀었는데 다 맞았고...
-
그래서 답 뭔지 안 알려주고 풀어달라 해야댐 아니면 답에 끼워맞춰서 말 지어냄 ,, 어이가 ;;
-
지구 문제 질문 2
ㄴ선지가 틀렸다는데 저 그림이 전체적으로 폐색전선아닌가요??
-
수학 4등급 고3 동생이 30일 남은 시점에서 조언 구하면 뭐라 말해? 0
4등급이면 60점대 나올텐데 개념부터 다시보라 해야함....? 나는 실모 양치기로...
-
재수도 진지하게 고려중이기에 질문 올려봅니다 국어가 제일 걱정인데 선택이랑 비문학은...
-
ㅈㄱㄴ
-
신체특성상.. 오늘 국어푸는데 꿈꾸는줄 알았어요.. 7시간 자고 들어갔는데도요.. 어떻게해야할까요
-
지1에서 우주의 평균 밀도=임계밀도가 우주의 평탄성 문제인가요? 2
왠지 잘 모르겠어ㅠㅠ설명 부탁 드립니다
-
안녕하세요. 학습 글로 오랜만에 인사드립니다. 모의고사도 내고 교재도 쓰고 이런저런...
-
목표는 12122
-
“생명을 살리는 일에 도움이 되어 무척 기쁘다” 정근식 서울시교육감 후보의...
-
실모랑 평가원,학평이랑 점수가 똑같이 나오는건 무슨 경우임 1
당연히 실모가 어렵고… 환경도 더 안좋고 그럴텐데 왜 둘이 점수가 같이 나오지…...
-
대성이랑 메가 들어갔는데 패키지로만 구매가 가능한 것 같아서요
-
수능이었음 백분위 몇떴으려나
-
불러주시는 분께 2,000덕을 드립니다
-
분명 9모보단 좀 어려웠던거같은데 등급컷이 얼마 차이 안나네
-
단한개의 문제풀이만 보고 로찌의 수학등급을 맞춰보세요! 몇이게 오르비는 뭔가 바로 맞출거같음
-
3월 69점 5월 76점 6모 85점 7월 6n점 8덮 6n점 9모 81점 9모...
-
우리반 지구러들도 다 틀렸던데 참 ㅋㅋ
-
화나네.
-
리제로 3기가 나왔었구나 토라도라 보려고 했는데
-
뭐라고? 반타작을했는데 2등급이라고?
-
국어 어카지
X Y 둘다 변수인데 1/X랑 4/Y가 꼭 같아야 되지는 않는듯
산술기하식에서는 최솟값일지는몰라도
진짜 최솟값은 아닌듯..
전 두식 곱해서 산술기하 쓰라고 배웠네요..
그 이유가 뭔지 자세하게 알려주실 수 있으신가요?
바로 산술기하평균부등식을 쓰게 되면, 1/X+4/Y≥4sqrt(1/XY)가 되겠죠? X+Y=2를 이용해 식을 고치면 1/X+4/(2-X)≥4sqrt(1/X(2-X))가 되고요. 하지만 Y=4X일 때 본 식이 최솟값을 갖는 것이 아니라 "등호"가 성립하는 것입니다. (작성자님은 미분을 알지만) 미분을 모른다고 가정해봅시다. 그러면 부등식에 있는 두 식이 같이 증가할지 감소할지 어떻게 알겠습니까?
예시를 들면, 다음과 같습니다.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2B1%2Fx%5E2%3E2sqrt%281%2Fx%29
x>0일 때 x+1/x^2의 최솟값을 구해봅시다. 이때 산술기하평균부등식을 쓰면 x+1/x^2>=2sqrt(1/x)가 나오고, 등호는 x=1일 때 성립하는 것을 알 수 있습니다. 하지만 실제로 x+1/x^2의 최솟값은 x=(2의 세제곱근 중 양수)일 때 나옵니다.
음...님 말은 이해 하겠는데 다음부터 저런 식의 문제가 나오면 어떻게 생각해야 할지 잘 모르겠어요(사실 정석 수1 문제인데, 이 단원에서 산술기하평균 쓰는 문제가 굉장히 많았어요. 그래서 저는 저런 간단한 미분은 생각 못했어요.). 어떻게 생각해야 하나요?
그리고 답지에서 산술기하 쓰면 루트 안의 식이 상수가 되잖아요. 보통 다른 산술기하 문제에서도 루트 안의 식은 상수가 되고요. 그런데 제 산술기하 풀이에서는 루트 안의 식이 유리식이잖아요. 이게 님과 다른 분이 말하신 '등호는 성립하지만 최소값은 아니다.' 와 어떤 관련이 있나요?
산술기하평균 부등식에서 최솟값을 구하려면 오른쪽 식(두 평균 사이의 관계를 적용한 식)이 상수가 되도록 하는 것이 좋습니다. 그러면 등호 조건을 충족하는 x를 제외하고는 본 식이 모두 상수보다 크다고 볼 수 있기 때문입니다. 예를 들어,
http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F%28x%5E2%2Bx%2B1%29%2B%28x%5E2%2Bx%2B1%29%3E2
1/(x^2+x+1)+x^2+x+1>=2에서 등호조건을 충족하는 x는 -1과 0이고, 이 이외에는 모두 2보다 크다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 최솟값이 2가 됩니다.
그리고 루트안의 식이 유리식이 되었을 때, 작성자님이 처음에 얻은 부등식은 (Y를 X의 식으로 바꾸었을 때) X=2/5일 때 1/X+4/(2-X)와 4sqrt(1/X(2-X))의 그래프가 접한다는 것을 알려주지만, 1/X+4/(2-X)의 최솟값을 가르쳐주지는 못합니다. 이는 제가 앞에서 건 링크를 통해서도 알 수 있습니다.
설명이 좀 빈약해서.. 이해 안되는 것 있으면 질문해주세요~
다른 예를 들어 x>0일 때 x+1/x의 최솟값을 구하라고 할 때, 산술기하 평균 부등식을 이용하여 x=1일 때 최솟값이 2가 됨을 알 수 있습니다. 산술기하 평균 부등식에서 x+1/x>=2가 되는데, 등호는 x=1일 때 성립합니다. 즉, x>0이고 x가 1이 아닐 때, x+1/x>2입니다. 따라서 x=1일 때 x+1/x의 최솟값이 2라고 할 수 있는 것입니다.
여러 가지 풀이를 생각해볼게요.
(1) 코시-슈바르츠 부등식(혹은 산술-조화) 사용해서 (1/x + 4/y) (x+y) >= (루트1 +루트4)^2 --> (1/x + 4/y) 2 >= 9 --> 1/x + 4/y >= 9/2.
(2) 산술-조화 부등식은 (x+y) / 2 >= 2 / (1/x + 1/y) 를 뜻합니다. 이는 변수2개일 경우의 코시-슈바르츠의 특수한 경우로 해석될 수도 있고, 정리해보면 결국 산술-기하평균 부등식과도 동치이고요. 이는 변수가 3개일 때도 참입니다. 즉, (x+y+z) / 3 >= 3 / (1/x + 1/y + 1/z). 다시 쓰면 (x+y+z) >= 9 / (1/x + 1/y + 1/z). 이를 적용하면,
1/x + 4/y = 1/x + 2/y + 2/y >= 9 / (x + y/2 + y/2) = 9 / (x+y) = 9/2.
(3) 이렇게 눈치껏 쪼개는 작업이 어렵다고 생각되신다면, 다소 일반적인 '가중치' 산술평균-조화평균 부등식을 이용하시면 됩니다. (바로 아래)
u+v=1인 임의의 양수u,v와 임의의 양수a,b에 대해 ua + vb >= 1/(u/a + v/b) 가 성립. (등호는 a=b일 때 성립.)
참고. 이 가중치 산술-조화 부등식에 u=v= 1/2 대입하시면 원래의 산술-조화 부등식을 얻음.
1/x + 4/y = u *1/(ux) + v * 4/(vy) >= 1 / (u(ux) + v(vy/4)) = 1 / (u^2 x + v^2 y/4 )
여기서 주어진 조건 x+y=2를 사용하려면 마지막 식의 분모의 x,y 계수를 동일하게 맞추어주면 됩니다. 즉, u^2 = v^2 /4. u = v/2.
u+v=1이었으므로, u=1/3 , v=2/3.
따라서 u=1/3, v=2/3으로 잡으면 위의 부등식이 쭉 성립하고, 1/x + 4/y = ... >= 1/ (x/9 + y/9) = 9/2.
(참고로, 1/(ux) = 4/(vy) 일 때, 즉, x/3 = y/6 일 때, 즉, 2x=y 일 때 성립.)
(4) 1/x + 4/y = 1/x + 4/(2-x) = (3x+2)/(2x-x^2 ) = 1 / { (2x-x^2 )/(3x+2) } = -9 / { 3x-8 + 16/(3x+2) }
(3x+2로 9(x^2 - 2x) 를 나눈 몫이 3x-8, 나머지가 16)
= 9 / { 10 - (3x+2 + 16/(3x+2)) }>= 9 / { 10 - 2루트{ (3x+2) * 16/(3x+2) } } = 9 / { 10 - 2*4 } = 9/2
(산술기하평균부등식)
(5) (4)에 있는 식 1/x + 4/(2-x) 를 미분하여 최솟값 확인.
이 문제 등장하는 모든 변수는 양수입니다.
확인이 늦었네요.. 여러가지 풀이 감사합니다~