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Evolved Slave II [872525] · MS 2019 (수정됨) · 쪽지

2020-10-18 19:15:53
조회수 600

머리 식힐 사람 들어오셈 ㅋㅋ (아까 문제 해설)

게시글 주소: https://orbi.kr/00032704000

우선 전글 문제 원본(조건 추가: 0<a<b, a^t*b^(1-t)로 오타 수정)

sqrt(ab)<integral 0 to 1 a^t*b^(1-t) dt < (a+b)/2


해당 식을 약간 변형해서 b로 나누면 다음과 같다.

sqrt(a/b)<integral 0 to 1 (a/b)^t dt < (a+b)/2b


왼쪽 부등식을 먼저 증명해보자.


(1) 0<a<b이므로 0<a/b<1이고 지수함수 그래프에 의해 (a/b)^t는 실수 t에 대해 감소하는 아래로 볼록인 함수이다. (아래로 볼록과 감소임은 미분을 두 번 함에 따라 각각 증명할 수 있으나 자명하므로 생략)


아래로 볼록인 함수 f(t)에 대해, f((a+b)/2)×(b-a)<integral a to b f(t) dt임은 적분 함수의 평균값 정리에 의해 알 수 있으므로 (정 증명을 하고 싶다면 (b-a)로 나누고 integral a to x f(t) dt=F(x)로 잡고 F'(x)의 [a,b]에서 s:(1-s) (단, 0<s<1) 내분점 정리를 써서 증명 가능하다.)

이를 똑같이 적용하면 sqrt(a/b)<integral 0 to 1 (a/b)^t dt임을 보일 수 있다.


우측을 증명해보자.


(2) (a/b)^t에서 t=0, t=1을 대입한 값의 평균을 구하면 (a+b)/2b임을 알 수 있다. 이를 통해 좌측보다 훨씬 쉽게 증명 가능하다. 아래로 볼록인 함수 f(t)에서 {f(a)+f(b)}/2>f((a+b)/2)이므로 (단, a<b) 해당 부등식으로 당연하게 참이다.


놀랍게도 해당 문제는 아직도 실력정석 연습문제에 있을텐데 본고사에서 자주 보이는 문제입니다. 일본은 그냥 계산계산해서 저 형태 그대로 증명해놨을 건데 b로 나누면 훨씬 간단해집니다.

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