평균값의 정리, 극한시 등호, 부등식 오개념 질문! 수학 고수님들!!!
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1. 함수식 세우고 [나 조건] 해석하고
2. [나 조건] 식으로 풀어내고
3. 문제에서 구하라는 값을 구함.
으로 문제풀이를 진행하였으나,
부등호에 등호가 존재하지 않아, 평균값 정리에서
리미트에서 등호가 생기는 부분을 고려하지 않은건가? 추측하여 등호를 붙여서 2라고 답을 적었더니 맞았습니다.
더욱 더 정확한 풀이, 또는 오개념이 어디서 발생했는지 여쭤보고싶어서 질문 올립니다. 수학 고수님들 잘 부탁드립니다!
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매워죽는줄알앗네
평균값 정리 안쓰고 g(x) = f(x) + x라는 새로운 함수로 만들어서 g가 증가한다고 하면 나와요
평균값 정리로 접근하면 틀리는건가요?
그 접근방법으로 하면 증가함수인 것은 알겠는데,
이 방법으로 진행하였을때 제가 어디서 논리의 오류가 발생했는지 정확하게 알고싶어서요 ㅠㅠ
저는 ㄱㄴㄷ문제 말고 저렇게 나와있는 부등식에서는 평균값정리를 잘 안써서요. 새로운 함수로 하는게 확장성도 좋아서
수학은 어떤 방법으로 접근하든 같은 답이 나오는 과목이라고 생각하는데,
제가 접근한 방법으로 답이 안나오니까[엄밀하게 나오지 않으니까=> 내가 어딘가를 틀렸구나]
그 부분이 궁금해서 올렸습니다!
도함수 값이 -1인 점을 단 하나만 주어지게 되면, 평균값정리를 사용해도 해당 조건에 모순이 없어용
저도 지금 그 부분 생각중이었는데,
도함수의 값이 -1인 점이 단 하나 존재하게 되는 경우엔
등호가 성립해도 되더라구요/ 근데 이걸 조금더 엄밀하게 어떻게 수학적으로 표현할까요?
평균값정리 자체가 입실론 델타 논법으로 따지면 불연속인 한지점에 대해선 등호가 성립해요!!
탄젠트함수가 증가함수이지만, 미분계수가 0인지점이 존재하듯이ㅇㅇ
탄젠트 증가함수 조건 가지고 똑같이 평균값정리 ㄱㄱ
증가함수 조건 가지고 똑같이 평균값 정리하라는게 정확하게 어떤 말씀이시죠?
예를들어 x^3도 같은 경우네요!
등호가 정확하게 어디에서 생겨야 하는것인지 모르겠어요 ㅠ
그러니까 이게 문제가,
평균값 정리가
x1<c<x2
즉 x1과 x2가 다르고
그 사잇값인 c로 찾아내는건데,
이 문제나 x^3인 경우는
딱 도함수의 포인트 (한 점에서만) 그렇게 되는거니까
즉 f프라임이 최소값에서 딱 한번 -1이 된다고 해서
-1이 되는 평균값이 존재하는게 아닌게 되니까?
말이 조금 어렵지만
딱 한 점에서만 프라임이 -1이니까 x1=x2=c가 되어버려서
사실상 일반적인 기울기, 평균값으로는 -1이 되지 않으므로,
f의 도함수가 -1인 값을 '순간적으로'는 지나도 괜찮아서
=(등호)가 들어가도 된다는 느낌은 받고 있습니다...
곰곰히 생각해보니까, 평균값정리가 "연속성"에 대해 다루기 때문에 특징 점에 대한 포인트는 놓질 수 있는거라고 봐요.
반면 미분계수는 연속성에 대한부분이 아니라 연속성 내부에 위치한 '순간'을 다룬다고 생각ㅇㅇ
평균값정리 식에서 lim x1->x2를 취할때, 평균값정리를 취한 식부분은 미분계수의 정의를 따라가지만,
자명한 사실로써, 극한에서의 부등호는 성립하지 않을 수 있다.(ex센드위치정리)
라는 사실을 떠올릴 수도 있겠네요.
이 문제는 그럼 윗 분 말씀대로, f(x)+x라는 함수 자체를 정의해서 접근하는게 더 현실적인 풀이방법일까요?
음... 네! 그럴 것 같아요!
같이 고민해주셔서 너무 감사드립니다!
아녜요 아녜요 ㅋㅋ 저도 오랜만에 신선한?생각을 하게돼서 기분 좋네요 ㅎㅎ