포카칩 가형 1회 19번 제 생각
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1. f''(a)≠ 0 이면 변곡점이라고 이야기하지 않습니다. - ebsi Q&A 상담교사 유태혁 선생님의 답변-
2.
1. 변곡점 판정
함수 y = f(x)에서 f ˝(a) = 0이고 x = a의 좌우에서 f ˝(x)의 부호가 바뀌면 점 (a, f(a))는 곡선 y = f(x)의 변곡점이다. - 네이버 지식백과-
3.
의 그래프에서 (
)가 변곡점이면 
″(
)는 양도 음도 아니므로 
″(
)=0이 되어야 한다.
즉 
″(
)=0이고 
앞뒤에서 
″(
)의 부호가 바뀌어야 점 (
)는 변곡점이라 할 수 있다. -사이언스올 과학용어-
4. 도함수는 중간값 성질을 만족하므로 두 번 미분가능한 함수는 변곡점에서 2차도함수가 0이 된다. -두산백과 >해석학>함수-
5. 마지막으로 고등학교 수2 교과서에 나와있는 내용입니다.(출판사:더텍스트)
'곡선 y=f(x) 위의 한 점 ( a,f(a) ) 의 좌우에서 곡선의 모양이 위로 볼록에서 아래로 볼록으로 변하거나
아래로 볼록에서 위로 볼록으로 변할 때, 이 점을 이 곡선의 변곡점이라고 한다. 이때, f''(a) 가 존재하면 f''(a)=0이다. '
여기서 이때, f''(a) 가 존재하면 f''(a)=0이다. 이 문장을 살펴보면,' f''(a)가 존재하면 '이라고 나와있습니다. 여기서 '존재'한다고 했으므로 연속과는 관계가 없습니다.
즉, 교과서에서는 f(x)의 이계도함수가 존재하고,(a,f(a) ) 가 이 함수의 변곡점이라면, 반드시 f''(a) =0 이라는것을 말하고 있습니다.
이제 포카칩 모의고사 (가형) 1회 19번 문제로 돌아가보면 x≤0 일때 f''(x)=(x-2)e-x 이므로 x=0에서 f''(0)이 분명히 존재합니다.
그리고 x<0 일때 f''(x)<0 이고 , x>0 일때 f''(x)>0 이므로 x=0에서 f''(x)의 부호가 음에서 양으로 바뀝니다.
하지만, 분명히 x≤0 일때 f''(x)=(x-2)e-x 에서 f''(0)=-2 이고, 이값은 0 이 아닙니다.
즉, f''(0) ≠ 0 입니다.
제가 위에 번호를 붙이며 올린 5가지의 사실들에 근거하여서, (0,0)에서 f(x)가 변곡점이 아니라는것이 저의 의견입니다.
------------------------------------------------------------------------------------------ From here!------------
음 일단 제가 가진 권위를 가진 미적분학 책(스튜어트 씨 책)에 보면 변곡점(inflection point)에 대한 설명은 다음과 같습니다
설명을 보면 함수의 오목 볼록만 바뀌면 되고 연속일 조건만 들어가 있네요
글쓴이께서 쓰신 1번의 답변 인용은 답변자가 착각한거 같구요
2번 a->b이다 에서 A가 B에 포함되는 관계입니다. 다시말해서 변곡점의 정의 조건보다 함수 y = f(x)에서 f ˝(a) = 0이고 x = a의 좌우에서 f ˝(x)의 부호가 바뀌는 점은 그 하위 범주에 들어가게 됩니다.
설명은 맞지만 변곡점이 모두 저 성질을 가져야 하는것은 아닙니다.
3번,4번도 같은 취지로 말할 수 있을꺼 같구요
5번은 f''(a)의 존재는 f''(a)이 정의 되는지 안되는지에 대한 문제같구요, f''을 정의하기 위해서는 f'의 미분가능성에 대한 얘기를 할 수 있을꺼 같구요, 확인할 수 있듯이 f'은 0에서 양쪽의 미분계수가 달라서 미분불가능합니다
따라서 정의되지 않습니다.
p.s 사진에는 나오지않으나 For instance로 시작하는 문장에서 Figure 7의 D점이 글쓴이께서 말한점입니다.
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아까 글쓰셨던 분이 교과서를 언급하셔서 ..댓글달다가 글이 없어졌더라구요 음..
혹시 궁금해하시는 분 있을까봐 씁니다..
교과서는 완벽하지 않아요!.. 물론 95%이상의 내용을 담고 있지만 100%가 아닙니다
학원을 다니던 현역시절에,,, 한석원 선생님이 자주 말씀하시던게
후진 교과서가 매우 많은데..대표적으로 지학사가 있지 라고..
교과서마다 정의가 다르게 쓰여있는 경우가 몇몇개 있어요..
대표적으로 극대극소에 관한 정의가 그렇죠
제가 수리교과서를 한 3권정도 가지고 있는데
어느교과서를 보면(신사고→매우후지다고 한쌤이 자주말씀하셨던..)
x=a에서 연속이고 x=a의 좌우에서 함수f(x)의 증가상태에서 감소상태로 바뀌면 극대,
감소상태에서 증가상태로 바뀌면 극소 로 정의합니다
another 교과서에서는 (성지출판→개인적으로 꽤나 훌륭한 교과서라고 생각)
x=a를 포함하는 열린구간을 적절히 잡았을때 최대 ,최소가 되는 점을
각각 극대,극소 로 정의한다 라고 쓰여 있습니다
위 두가지 극대,극소를 정의하는 멘트를 잘 보시면
분명히 충돌하는 내용이 존재합니다 성지출판 교과서가 있으신분은
극대극소의 정의를 다시 읽어보셔도 되요 ㅎㅎ 신사고가 어느지점에서 틀렸는지 정확히 캐치할 수 있습니다..
수능수업하시는 쌤들에게,그리고 논술수업하시는 쌤들에게도 많이 여쭤보았는데
후자가 극대극소에 대한 엄밀한 정의라고 하시더라구요
신사고에서 제시한 극대극소에 대한 정의는 정확히 말하면 틀렸으나,
고등교과과정에서는 거기까지 건드리지 않으니 너무 신경쓰진 말라고 하시더라구요
변곡점 얘기로 돌아와보면... 변곡점 자체에서 이계도함수값이 존재하지 않는데도
변곡하는 함수는 많아요
f(x)=x^1/3 가 대표적이죠..'변곡'점 곡선의 볼록성이 변화하는 점..
볼록성의 변화가 중요합니다
교과서에 쓰인 f''(a)가 반드시 0이어야 한다 는 엄밀한 정의가 아닌것이죠
교과서가 틀린겁니다.. 헷갈리셨던분 있으시다면 확실히 해두시길 바래요 ㅎㅎ
변곡점과 f''(a)=0 은 필요조건도, 충분조건 관계도 아닙니다.
"(a, f(a)) 가 변곡점이면서, f''(a) 의 값이 존재하면, f''(a)=0" 이게 올바른 명제입니다.
그 외에는 무조건 "a 의 좌우에서 f''(x) 의 값이 변하는지 안변하는지" 에 따라 판별합니다.
윗분이 말씀드렸듯이 f(x)=x^(1/3) 은 x=0 에서 미분계수도, 이계도함수값도 존재하지 않는데 변곡점입니다.
근데 EBSi 답변, 진짜 저렇게 말했나요;; 적어도 오개념은 심어주지 말아야되는데 이럴수가....
수능에는 논란이 없게 나오겠죠 !
이렇게나와도 논란의여지가 없는게 문제자체가 수학적으로 오류가 없으요
아아니네요 지학사가 뻘짓을해놔서 이런...
이번에 서울대 모교수가 교과서별오개념관련된 논문을 썻다고하는데
그 교수도 교과서썻을껄요 아마 그게 성지일듯..
고작 교과서 하나에서 정의를 발췌해서 출제를 해놓고
출제오류하고 하시던데.. 좀 웃겼음
제네럴한 많고 많은 교과서들 정의는 내팽겨치고 굳이 한 교과서 정의만 고집하시는 이유가..ㅋㅋㅋ
근데 글쓴이 분이 쓴 정의대로 따라가도 맞다는게 사실 취지에요
하지만, 분명히 x≤0 일때 f''(x)=(x-2)e-x 에서 f''(0)=-2 이고, 이값은 0 이 아닙니다.
실수하신것같아서 댓글달고갑니다.
f의 구간이 구분되어있는경우 막 미분하면 안됩니다.
미분의 정의는 극한입니다. 좌극한 우극한 동시에 정의가 되어있고 같아야합니다
그런데 f는 x>=0 일때와 x<0 때를 기준으로 함수가 갈라져있죠
따라서 f`(0)을 구하기 위해서라면 각각 좌극한 우극한 구해야하구요,
즉 f``(0)을 구하기위해서는 아래와 같이 풀어야합니다
f`(x) (xe^(-x))` x<0
(xe^x)` x>0
1 x=0
f``(x) (xe^(-x))`` x<0
(xe^x)` x>0
결국 f``에서 0에서의 좌극한과 우극한을 비교하면 값이 달라 존재하지 않습니다.
미분은 좌극한과 우극한을 동시에 알아야하기때문에 경계에서는
항상 조심해야하지요..
예 제말이 그말입니다. 좌우 극한이 다르더라고요
제일 위의줄이 벌레님께서 적으신말인데
좌우극한확인하지 않으셨기에
이댓글달았습니다.
바로 좌극한이 미분계수라는 뜻이
첫번째줄이죠
그 건 제가 적은 말이 아니라 원래글 작성자가 적은 글이에요, 사진 위에는 단 한줄만 제가 적은 글인데요....
근데 제가 오해의 소지가 있게 구분을 안해놨네요, 죄송합니다
이거 아마 교과서에서 중점적으로 다루지를 않아서 많이 헷갈리는 듯..
교과서를 보면 극값의 경우에는 미분가능하지 않은데 극값을 갖는 경우까지 그래프로 예시를 들어 줬던 걸로 기억하는데, 변곡점의 경우에는 이계미분가능하지 않은 경우에 대한 언급을 하지 않았던 걸로 기억합니다.