증가와 감소에 대한 오해
게시글 주소: https://orbi.kr/00031391752
이 주제는 도함수 극한 논란과 같이 정말 많은 분들이 헷갈려 하시는 주제입니다.
먼저 이 글을 봐주시면 감사하겠습니다.
https://orbi.kr/00031391055#c_31391534
많은 분들이 증가와 감소에 대한 정의를 헷갈려 합니다. 다항함수면 상관없지만,, 예를 들어 이런 함수
이 함수가 과연 실수 전체의 집합에서 증가할까요? 중간에 보이는 저 어떤 구간 내에서 상수함수인 구간에 대해 어떻게 판단해야 할까요?
저 위에 있는 링크는 오르비언 분들이 이 문제에 대하여 어떻게 판단하시는지 조사하는 글입니다.
그런데 저 글에서는 "고등 교과 내"의 범위에서 판단하라고 이런 자료를 제시했습니다.
위 자료는 수능특강 수학II에 제시되어 있는 증가 감소의 정의입니다. (미적분에는 저 내용의 "일부"가 서술되어있고 제가 교과서 전수조사를 하지 못했지만 주로 저렇게 서술되어 있는걸로 압니다.)
게시글에서 달린 댓글을 보시면 "저 정의대로면 증가가 아니다" "단조증가이다" 등이 있습니다.
저희는 수능을 봐야하기 때문에 "고등학교 교과과정에서 제시한 대로"만 판단해야 하는데..
저 정의를 제대로 읽어보시면 "x1<x2일 때 fx1<fx2인 경우", "f'>0인 경우"(감소도 마찬가지) 에서만 서술되고 있습니다. 어떤 구간에서 상수함수일 때 어떻게 되는지? .. 아예 서술하지 않았습니다.
따라서 결론은 고등학교 교과과정대로면 위 문제에서 제시된 경우에 대해 "판단할 수 없다"입니다.(딱 한 분이 이렇게 말해주셨던데 제 의견이랑 일치합니다 ㅎㅎ)
그렇기 때문에 사실 제가 말하고 싶었던 것은
수능에서는 "상수함수에 대한 증가와 감소"를 절대 물을 수 없기 때문에(극대극소 판단은 가능합니다.)
"f'(x)>=0"과 "함수의 증가"를 동치로 봐도 수능에서는 아무런 아무런 영향이 없다는 겁니다.
이거에 대해 "어떤 구간에서 상수함수라는 반례가 있으니까 꼭 잘 판단하고 써야해!"라는 주장은 전혀 수능 수학에서 쓸모가 없고 대학에 가면 "단조증가"라는걸 배우기 때문에 아예 지금은 판단할 필요가 없습니다.
또한 저런 애초에 판단할 수 없는 것들을 가지고 증가와 감소에 대한 정의를 헷갈려 할 필요가 없다는 것이죠.
저거에 대해 의문을 가지고 질문하시는 분들이 많아서 이 글을 쓰게 되었고, 도움이 되신 분이 계시길 바라면서 이 글을 써봤습니다. 읽어주셔서 감사합니다.
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~이면 증가/감소다 만 언급했으니 f(x1)=f(x2)인 경우에 대한 언급은 없기때문에 이에 대한 논란은 무의미할수도 있겠네요.
바로 그거죠, 판단할 수 없다 이겁니다.
제시하신 수능특강의 정의에 입각한다면, 함수가 증가하는지의 여부에 대한 판단을 할 수 있는 것 아닌가요??
수능특강에서 정의한 거로는 상수함수는 둘다 아닌 상황이니, '증가도 감소도 아니다'라고 생각하는 게 맞는 거 같은데,,
정말 저 정의만으로 판단한다면, '상수함수에 대해선 판단할 수 없다'라고 하기보단 '둘 다 아니다'라고 하는 게 맞다고 생각합니다.
둘다 ""아니다"" 라고 확실하게 단언할 수 있는 근거가 뭔가요?(
증가도 아니고, 감소도 아니니까요. 철저하게 정의만 본다면요.
? x2>x1 일때 fx2>fx1 "이어야" 증가이기때문에 fx2=fx1일땐 증가가 아닌거죠 판단할수없는게 아니라 증가의 상황이 아니기때문에 '(1)함수의 증가와감소' 카테고리에 들어가지않은것 뿐입니다. 교과서에서 함수의 증가를 설명하는 카테고리에 설마 어떤상황은 넣고 어떤상황은누락 할리는 없지않나요?
논란이 있기 때문에 안 실은 거라고 추측됩니다.
한 조건일 때 그 정의를 만족한다고 이 조건을 만족하지 않을 때 그 정의를 만족하지 않는다는 보장은 없죠,
저것자체로 교과서적인 증가의'정의' 이므로 정의를 만족하지않으면 고등교과서적으로는 증가가 아닌거죠
’~이어야 증가’와 ‘~이면 증가’는 다르죠
정수여야 자연수지만
자연수여야 정수인건 아님
저걸 카테고리를보아 해석하자면 '이어야' 라는거죠 저건 말그대로 증가의 '정의' 니깐요 지금 님들 논리는 '~의 정의는 p야' 라고 했는데 '~p이면 어떡해요?' 라고 묻는꼴. 그건당연히 아닌건데
왜 딴소리를 하세요 글쓴분은 수능특강에 있는 서술을 있는 그대로 받아들인다면 저렇게 특정할수 없는 여집합이 생긴단거 아닙니까?
그걸 왜 카테고리니 뭐니 하면서 다른말로 바꾼걸 기준으로 판단하나요?
밑에보시면 글쓰신분도 제말이해하셨는데 왜 혼자이해못해놓고 따지시나요
한자님 의견 정말 감사합니다 저도 사실 논쟁하다보면 감정이 올라오긴 하지만(밑에 글만 봐도,,ㅠ) 생각해 보니 저만 손해라는 생각이 들더라구요 저랑 같이 좋은 감정으로 논쟁해용
제가 맥락상 저렇게 이해하는게 맞다는걸 몰라서 그러겠습니까?
수학만큼은 정확히 하자는거죠
저게 정의라면 수학적으로 정확한데요?
그러니까 쓰여진말 그대로 이해하면 정의가 되지 못한다고요
여집합이 발생하기에 글대로보면 필요충분조건이 아니란거죠
그래서전 분명히 아래에도 '합리적인 추론' 의 뉘앙스로 말했는데요; 애초에 정의가 아니라는 보장도 없으니 어떤의견이든 의견일뿐입니다.
p이면 q이다와 ~p이면 ~q이다는 동치명제가 아닌데 참 답답하네요 ㅠ
님이생각하는 p랑 제가생각하는 p가 다른거같네요 저건 명제가아니라 정의로써 받아들여야 된다고 생각합니다.
음 서술 자체는 ~이면 이지만 서율님은 ~이어야 라고 해석하는게 합당하다 라는 것이군요 계속 생각해 보겠습니다 감사합니다.
네 그게맞습니다. 물론 저도 하나의 의견일뿐입니다.
교과서의 서술이 조금 애매한 점은 인정합니다.
서술을 "증가는 p인 상황이다" 가 아니라 "p일 때 증가한다고 한다"라고 나와있죠.
하지만 수험생 입장에서는 p를 함수의 증가에 대한 '정의'라고 받아들일 수밖에 없습니다. 정의는 필요충분이에요.
주장하시는 것은 교과서에 증가/감소에 대한 서술이 정의가 아니라고 하시는겁니다.
저도 저 서술이 '증가/감소에 대한 정의인가?'에 대한 의문은 있어요..
쟁점은 저걸 정의로 볼 것인가 아닌가 라고 생각합니다.
그쵸 정의냐 아니냐가 쟁점인데 저는 그냥 정의로보자는거죠 교과서가 어떤 특정상황만 누락할리는 없으니깐요
교과서에서 특정 내용을 누락할리가 없다는 맹신은 어떤 근거로 말씀하시는 건가요? 중등,고등 교과과정에서 생략하거나 ~함이 알려져있다 정도로 설명하는 부분도 많아요. 실제 논란이 될만한 내용은 다루지 않기도 하고요. 교과서 내용을 좀 더 파보시면 누락된 내용이 많다는 걸 알게됩니다.
솔직히 제 생각으로는 절대 수능에 안나올 것 같아서 이렇게 이 주제를 띄우고 싶진 않지만, 저는 수험생이기도 해서 만약 제 생각이 틀렸다면..? 제가 아예 잘못 알고있는 것이라 수능에 나와서 이것 때문에 대학을 못간다면 하고 어느 정도 두려운 감정이 있기도 해서 이렇게 글을 써서 생각을 공유하는 거에요. 하지만 저는 안녕님이 밑에 쓰신대로 저거 자체로 "정의" 라는 것이 약간 의문이네요 ㅠ
교과서에서 어떤특정상황(상수함수)만 누락할리가없으니 정의로 봐야된다는거죠
이번 2023학년도 수능완성 61페이지 29번에서 물어봄, 그래서 물어보면 안될 부분이다라고 정정신청해야함. 심지어 정정문의하니 본인만 그렇게 본거지 그게 역도 참이라고 읽는게 일반적이라고 그표현을 순증가만 증가이다라고 읽으랍니다. 다른 논쟁을 만드심... 저거 자체로 "정의"가 아니면 증가의 정의가 교과서에 뭐라되어있는거냐 물으셔서 정의가 안된지점을 문제에 넣어서 문제라고 말했는데, 저빼고 모두가 정의로 읽는다고하셨는데
교재정정문의로 힘을 보태주세요...
임의의 두 수 라는 말은 어떤 두 수를 아무거나 집어넣어도 항상 성립했을 때 만족하는 거니까 상수함수 구간에서는 x1<x2이지만 fx1=fx2라서 상수함수에서는 증가 감소가 성립하지 않는게 맞지 않나여???
이게 왜 논란이 되는거지
어떤 구간에서라고 직접 명시까지 해줬고 그 구간에서의 함숫값으로 판단하라는건데 상수함수가 그 구간에서 증가하지도 감소하지도 않음 뭐가 문제인거지
명시된것도 증가함수가 아니라 “증가한다” 인데 상식이랑 너무 잘 들어맞는디..
증가하면 어떤 구간에서 함숫값이 커져야한다 /그 구간에서 함수는 증가한다 제가 국어를 못해서 그런가 필요충분 맞는거같은ㄷ..
근데 상식으로 판단한다면
상수함수가 정의역 내 모든 점에서 극대이고 극소인게 상식이랑 약간 충돌하는 점이 있져
저는 의도적으로 누락한게 맞다고 생각합니다.
당장 극점의 정의만 봐도 09개정 이전은 불연속함수의 극대극소를 설명할 수 없었죠
다만 교과서에서 저렇게 서술하고 있으면 그냥 정의로 받아들여야 하는게 맞는데 어차피 상수함수인 구간은 물어보지 않을거기 때문이죠 안배운거니까요
이번 2023학년도 수능완성 61페이지 29번에서 물어봄, 그래서 물어보면 안될 부분이다라고 정정신청해야함. 심지어 정정문의하니 본인만 그렇게 본거지 그게 역도 참이라고 읽는게 일반적이라고 그표현을 순증가만 증가이다라고 읽으랍니다. 다른 논쟁을 만드심...
오..잘읽고갑니당
정의니까 필요충분조건으로 봐야되는거 아닌가요