빡모 2권 (3회21번이었나기억안남)사차함수의합성함수| f(f(x))-x|의 미분가능성문제 푸는법?
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요거 어케푸나요 ... 해설강의를 안사서 ㅠ
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국회의원이 뭐길래 공천에 목매나 | 기사입력 2012-02-17 22:18 |...
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사귄지 18일 됐거든여. 근데 9일만에 ㅋㅅ하고어제는 슴가에 손까지...
몇권이고 가형인지 나형인지랑 문제 번호는 적어주셔야죠 ㅠㅠ...
1권 2권 가형 2회 찾아봤는데 못찼겠어요ㅠㅠ
3회21번이었던것같네요 2권은 확실하고 객관식인데 지금 책이 없어서 ㅠㅠ
f(x)의 그래프를 그려보면 x<0에서 감소하고, x>0에서 증가하는 함수가 나옵니다.
(문제 조건에서 정의역이 x가 0이상이니 x<0인 경우는 따질 필요가 없을 것입니다.)
(f '(x) = x(4x^2-9x+6) 이고, 4x^2-9x+6의 판별식이 0보다 작기 때문에 x=0에서만 f'(x)의 부호가 바뀝니다)
f(0)=0입니다. 따라서 f(x)는 0이상의 값을 가집니다.
f(x)는 y=x와 (0,0), (1,1) 에서만 만납니다. 식을 세워보면 쉽게 알 수 있습니다. (0,1)에서 f(x)의 그래프는 증가상태이고
y=x의 그래프 아래에 있습니다. f(f(x))는 따라서, 구간 (0,1)에서 y=x 밑에 있을 수 밖에 없습니다.
비슷한 방식으로 f(f(x))가 구간 (1,무한대)에서 항상 y=x 위에 있음을 알 수 있습니다.
즉, f(f(x))-x=0의 근은 x=0,1이 유일합니다.
따라서 f(f(x))-x그래프의 절대값을 취하면, 구간 (0,1)을 y축 위로 접어 올리는 것이 됩니다.
f(f(x))-x 는 다항함수의 합성함수이므로, 항상 미분 가능합니다.
따라서 x=1일때의 미분 가능성만을 따져보면 되겠습니다.
ㄴ선택지와 ㄱ선택지를 풀면서 확인하셨겠지만, f '(1)= g '(1)=1이고, 점 (1,g(1))은
g(x)의 변곡점입니다. (g(x)=f(f(x)) ) 따라서 |g(x)-x|는 1에서의 미분계수값이 0이고,
미분 가능합니다.
(g(x)-x는 x=1에서 변곡점을 가지면서, 미분계수값이 0이기 때문에 절대값을 취해도
미분이 가능합니다)
그러므로
ㄷ. 함수 |g(x)-x|는 모든 양수 x에 대하여 미분가능하다.
는 옳습니다.
정말정말정말정말감사합니다 이거 정말 명쾌하게 설명해주셔서 어떻게 감사를 드려야할지 모르겠습니다 ㅠㅠ
아, 그리고 문제는 가형 2권 1회 21번이더라구요....
머리가 아픈상태로 쓴 거라 두서가 없어도 이해부탁드려요 ㅠㅠ..