갑자기 써보는 '변분법이란?'
게시글 주소: https://orbi.kr/00030927696
참고: 수능 수학에 쓸다리 하나도 없는 내용임
변분법은 어떤 수학적 문제를 해결하는 방법이며 그 문제는 아래와 같습니다.
문제: 아래의 가 최소(또는 최대, 좁게 보아서는 극소나 극대)가 되는 함수 를 찾아내는 것
여기서 는 함수 가 에 의존한다는 것을 의미하며 의 형태는 이미 알고 있는 상황입니다.
여기에서 상황을 더욱 한정시켜 과 은 fix되어 있다고 생각하겠습니다.
얼핏 보면 ‘그냥 미분하면 되는 것 아니냐’라고 하실 수 있겠지만 이 문제는 값을 찾아내는 것이 아닌 함수의 형태를 찾아내는 것이기 때문에 그리 간단하지 않습니다.
이 문제를 해결하기 위한 방법이 바로 변분법(Calculus of Variations)입니다.
찾으려는 와 약간 모양이 다른 함수는 값을 증가시킬 것입니다.
(찾으려는 함수가 를 최소화시키는 함수이기 때문에)
찾으려는 에서 약간 벗어난 이 함수의 형태를 다음과 같이 나타내겠습니다.
가 우리가 찾으려는 함수이며 는 을 만족시키는 임의의 함수입니다.
또한 는 구간 내에서 미분 가능합니다. 그림으로 보면 아래와 같습니다.
다시 말해 는 에서 최소(극소)값을 가지며 이라는 뜻입니다.
는 편미분을 의미하는데 여기에서 다른 요소는 변화시키지 않고 만 변화시킬 때의 값이라고 보시면 편하며 이외의 변수를 상수로 취급하여 미분하면 됩니다. 이제 미분을 진행해보면
입니다. 겁먹지 마십시오. 간단한 합성함수 미분일 뿐입니다. 앞쪽에 곱해진 것은 겉미분, 뒤쪽에 곱해진 것은 속미분입니다. 그런데 여기서
이므로 는 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.
여기서 두번째 항만 따로 적분하면 (부분적분)
가 되어 는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
그런데 여기에서 를 임의의 함수라고 하였으므로 가 0이 되려면 앞에 로 묶인 부분이 0이 되어야 합니다.
위 식을 오일러 방정식이라고 합니다.
가 미분 불가능한 경우는 고려하지 않습니다. (적어도 물리학과에선 그럽니다.)
그럼 이걸 대체 어디에 써먹느냐?
맨날 최단강하곡선이라면서 정작 진짜 그런지는 안알려주는 사이클로이드가 최단강하곡선임을 보일 수 있습니다.
만 귀찮으니 다음에 풀어드리죠.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
좋아요 0 답글 달기 신고
-
좋아요 0 답글 달기 신고
-
아 멘탈털리네요.. 12
제 친한친구가 대학가서 제가 짝사랑했던 친구랑 사귀고있네요 지금 공부잘하다가 갑자기...
-
기하vs확통 2
재수생이고 작수 기하 백분위 70에 선택 8문제중에 5문제 맞혔습니다 올해 3등급...
-
오늘하루도 고생하셨어요 :)
-
제발
-
과탐 선택 3원칙 13
1. 지구를 해라 2. 화1을 하지 마라 3. 화2를 하지 마라 개인적인 생각입니다~
-
일단 강민철커리 타는중이고 강기분 끝나고 새기분 하고있는데 문학+EBS는 김상훈...
-
작수 미적 73 3모 88 3덮 80 4덮 77 ㅈㄴ 하기싫은 내신ㅅ발공부 때문에...
-
사람이면 7ㅐ추 ㅋㅋㅋㅋㅋ
-
장학80%일려면 성적 어느정도 여야하나요...노량진강대
-
사탐 선택 3원칙 14
1. 경제를 하지 마라. 2. 역사를 하지 마라. 3. 사문을 해라.
-
10:04 지난 일주일 간의 일기의 공백에 대해 간략하게나마 기록하자면... 처음은...
-
술 마시는 것보단, 공부 끝내고 건전하게 오르비 하는 게 훨씬 낫다고 생각해요!!...
-
오늘 좀 일찍 자고 일요일 쉬는거 반납하고 공부해야겠다
-
나 얘네 좋아
-
요즘 야자 때 음악실 건물에서 누가 피아노 치는데 10
존나 잘 침;; 추격 개찢었다 ㄹㅇ 다들 숨겨진 음대 입시생 아니냐 추측 중 사유...
-
가 뭔가요?? 대부분 그렇게 하던데..
-
통합 수능 이후의 것이면 좋겠습니다 ㅎㅎ
-
롤 할사람 3
자랭할사람 구해요
-
김동욱 일클 153 페이지까지 강기분 언매 접두사• 접미사 복습 완. 만흥,...
-
현우진 뉴런들었는데 유독 합성함수만 적용이 잘 안되는거같음.. 배성민쌤 빌드업이나...
-
뭔가 공부를 했는데 안한듯한 이 요상한 느낌
-
다들 참고하세요 (저도 이 시간대에 올수도…?)
-
너무 나가고싶은데 엄마가 못나오게해요… 어떡하죠 정병 걸릴것같아요 일주일째 공부가 안되네요 하
-
그냥 술술술술? 연애미팅은어차피못하는거니까빼면. 반수도 빼고
-
이거 국가권력급 챔피언임…
-
ㄹㅇ 푸씨 9
-
전혀 그런게 아니더라구요?
-
님들 수능 백분위 92 90 1 90 90이면 어디가나요 보통? 2
제목이 곧 내용 선택과목은 미적에 과탐
-
마지막사진이 방금 쓴거!
-
서술형 문제들 진짜 골 때리네 ㅋㅋㅋㅋ 자기 주장을 쓰는 문제가 거의 대부분임 시...
-
6모 전까지 미적 기출 한 바퀴 돌리는게 목표인데 뭐가 현실적임? 참고로 아직 기출...
-
ㅈㄱㄴ
-
1. 자전거 150칼로리 약 30분정도 2. 런닝머신 90칼로리 약 19분정도...
-
갖고싶은 초능력 댓글로 97
대신 다른 오뿌이들이 답글로 부작용 정해줄거에요
-
쿵팬4 보신분 5
쿵팬4가 현 시리즈중 가장 구리다던데 진짠가요
-
공부를 안해서그런가
-
눈인증하면 왜 다들 여르비냐고 하는거죠 뭔가 다른게있나...?
-
갑자기 혼란스러움요
-
오류날 수도 있나요? 지구과학 37점인줄 알고있었는데 30점 나왔더라고요. 또,...
-
70프로의 담요단 29퍼의 허수 남학생 1퍼의 국어 1등급 실수
-
07인데 화학 양론 ㅈ같고, 물리는 역학 약간 발상적이라고 해야하나 추상적이라...
-
대 승 리
-
수학 내신 어떡함 22
막상 우리 학교 거를 시간재고 못품,,, 서술형을 객관식처럼 채점했지만 서술형...
-
지랄마
-
쪽지로 번호 남겨주세요!! (* 휴대폰이 없는 경우 상담 불가능합니다.) [생1...
-
올오카 0
올오카 지금 들으면 늦을까요? 독서는 어려운 지문만 골라서 들을 거 같고 문학은 다...
-
C2H2OH(aq)를 예시로(아마 에탄올인듯) 수용성 공유결합 화합물의 수화과정,...
-
처음엔 개같이 어려워서 통계는 ㄹㅇ 아니다 싶었는데 하면 할수록 재미씀 반면...
-
국어 언매 독서 문학 어느정도 되고 수학1 수학2 4점공략법 이번달에 거의 끝내놓고...
-
약대 사탐?! 3
인서울 약대/ 언매 미적 사탐(사문,정법)이면 어느 정도 성적 이여야지 가능한가요?