[이동훈 기출] 6모 가형 20번 심층분석 (개정)
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2021_6월_가형_20번_심층분석_개정본.pdf
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다시 다운로드 받으세요. :)
안녕하세요.
이동훈 기출문제집의 이동훈입니다.
이 문제에 대한 추가적인 풀이를
몇 개 더 찾았으므로,
6월 27일(토)에 올린 칼럼의
일부를 수정하고
내용을 추가합니다.
(현재 6월 28일(일) 오후)
바로 본론 들어가실께요 ~!!!
6모 가형 20번의 경우에는
꽤 여러 방법으로 접근할 수 있는데요.
이 글에 첨부된 PDF 파일에는
총 2개의 풀이와 11개의 참고가
수록되어 있습니다.
우선 [풀이1] 에 사용된
중등 기하는 아래 그림과 같습니다.
(중학교 수학2 원의 성질)
후후후 ...
이걸 시험 시간에 봤어야 하는데 ~
근데 이거 시험장에서 본 분 있으면 ...
기하왕으로 인정합니다 !!!
하아아아 ~
그런데 말이죠 ~
뭐 ... 중학교 졸업한지도
최소 2년 반은 지났고
고등부 선생들의 경우에는
수십년 전일 것이므로
사실 위의 그림을
시험 시간에 떠올리는 것은
쉽지 않습니다.
(특히 선분 AD1이 그어져 있어서
30도+30도=60도
를 발견한다는 것이
왠간히 눈썰미가 좋지 않으면
쉽지 않지요.)
개인적으로는 위의 그림보다는
[풀이2] 의 상황이 먼저 떠올랐구요.
이제 [풀이2] 를 생각해보면요.
아마도 이 문제를 푼
수험생의 과반 이상은
위의 그림을 그리지 않았을까 ...
하는 생각을 해봅니다.
풀이과정을 떠올려보면
원주각 -> 중심각 -> 삼각형의 외각(60도)
까지는 술술 나왔을 것이구요.
여기서 30도+30도=60도 임을 보았다면
즉, 두 삼각형 AB1C1, D1B1B2가
서로 닮음임을 발견했다면
[풀이1] 으로 GOGO
그렇지 못했다면
각의 이등분선의 정리,
코사인법칙(또는 할선의 정리)
로 첫째항과 공비를 유도하였을 것입니다.
각의 이등분선의 정리와
할선의 정리에 대해서는
글의 후반부에 정리해두었으니
참고하시구요.
각의 이등분선의 정리와
할선의 정리 모두
중학교 교과서의 본문에서는
다루지 않으므로
[풀이1], [풀이2]가
모두 보이지 않았을 때,
교육과정 안에서 문제를
해결하는 방법은 다음과 같습니다.
고등학교 수학1 교과서
삼각함수 단원의 연습문제인데요.
거의 대부분의 교과서에
수록된 문제이기도 합니다.
(수학1을 공부하면서
위의 문제를
안 풀게 되는 경우는
거의 없지 않을까 ... 메이비)
위의 연습문제의 풀이법을 적용하여
[참고3] 에서
두 선분 AD1, D1C1의 길이를
구하였는데요.
중등기하를 거의 까먹었다고 해도
(즉, [풀이1], 각의 이등분선 정리, 할선 정리 다 생각 안남!)
수학1 교과서 연습문제의
전형적인 풀이법을 적용하면
어렵지 않게 문제를 해결할 수 있습니다.
그 외에도
사인법칙, 코사인법칙을
적절히 사용하면
계산량이 많지 않으면서도
문제를 깔끔하게
해결할 수 있으니
이 글에 첨부된
PDF 파일을 꼭 다운로드 받아서
읽어보시길 바랍니다. :)
< 총평 >
개인적인 생각은.
[풀이1]
베스트 오브 더 베스트 !
출제자가 첫 번째로 원한 풀이 !
[풀이2]
[풀이1]보다는 계산량이 많아지지만
여전히 좋은 풀이
출제자가 허락한 풀이 !
(그리고 이 풀이로
대부분 풀게 될 것이라고
예상을 했겠지요.
그래서 20번인거임.
ㅋㅋㅋㅋ)
중등기하의 여러 정리가 생각하지 않아도.
사인법칙과 코사인법칙 만으로도
각 선분의 길이를 구할 수 있으므로
수험생에 대한 배려가 느껴지는
좋은 문제였습니다.
(워낙 문제에서 주어진
기하학적 상황이 좋기도 했구요.)
아래 부터는 6월 27일 (토)의 칼럼 입니다.
수정된 부분은 거의 없습니다.
이번 6모 가형 20번 인데요.
상당수의 수험생 분들이
어려워한 문제이기도 합니다.
이 문제의 풀이에 대해서는
두 가지의 논란이 있는데요.
(1) 각의 이등분선 정리를 반드시 사용해야 하는가 ?
(2) 할선 정리를 반드시 사용해야 하는가 ?
일단 답은
(1) 그렇지 않다.
(2) 그렇지 않다.
입니다.
하지만
각의 이등분선 정리, 할선 정리를 사용해도
문제가 깔끔하게 풀리는 것을
부정할 수는 없을 것입니다.
(1) 각의 이등분선 정리를 사용하지 않는 풀이는
아마도 다음과 같을 텐데요.
그림판으로 그려서 이 모양이야. ㅋㅋㅋㅋ
위와 같이 문제에서 주어진 전체 그림에서
일부만 그리고 나면
x의 값을 어떻게 구해야 할지 보입니다.
삼각형 AB1C1의 넓이를
두 삼각형 AB1D1, AD1C1의 넓이의 합과
같다고 두면 x의 값을 구할 수 있고.
이제 삼각형 AD1C1에서
코사인법칙을 적용하면
원의 반지름의 길이를 구할 수 있습니다.
위의 문제는 대부분의
수학1 교과서
삼각함수 단원의 연습문제로
수록되어 있기도 합니다.
(2) 할선 정리를 사용하지 않는 풀이는
이미 해설지에서 설명해두었으므로 생략합니다. (아래)
[이동훈 기출] 6모 가형, 나형 해설지
이 외에도 다양한 관점에서의
풀이가 가능하므로
이 글에 첨부된 PDF 파일을 참고하길 바랍니다.
자. 그렇다면
과연 각의 이등분선 정리, 할선의 정리는
시험 범위인가요 ?
라는 물음이 머릿 속에 그려질 텐데요.
각의 이등분선 정리
사실 각의 이등분선 정리를 사용하였을 때
깔끔하게 풀리는 문제는
이미 2019 수능 가형 18번에서
출제된 바 있습니다. (아래)
위의 문제는 각의 이등분선 정리를
사용해도, 사용하지 않아도
깔끔하게 풀립니다.
각의 이등분선의 정리는
피타고라스의 정리 처럼
중학교 수학2 교과서의 본문에서 증명하지는 않지만
연습문제에서 증명하는 경우가 적지 않고,
반드시 알아두어야 하는 정리로
많은 선생님들이 가르치고 있지요.
따라서 상당수의 수험생이 이 정리를 알고 있을 것이다.
라고 출제자들이 생각하고 있지 않은가
라는 것이 제 생각입니다.
(출제자는 교육과정과 함께
시험을 치루는 수험생도
고려할 수 밖에 없으니까요.)
그러므로 이등분선의 정리는
수능이라는 시험에 있어서
알아두어서 손해볼 것이 없는 정리
정도로 정리해두면 될 것입니다.
그리고 할선의 정리 역시
이번 6모 가형 20번에서
깔끔한 풀이를 이끌어내는
역할을 하였으므로
이 역시 알아두어서
손해볼 것은 없을 것입니다.
(하지만 지금 시점에서는
이 정리가 중요하다고
말할 수는 없을것 같습니다.)
위의 두 정리 뿐만이 아니라
3차함수의 그래프에서의 비율관계,
2, 3차 함수의 정적분에 대한 공식,
...
등도 교육과정 안의 내용들은 아니지만
상당히 많은 수의 수험생들이
알고 있는 내용이고
무엇보다도
평가원 기출문제에서 이런 정리/공식들을
직접적으로 정리 한 바가 있으므로
익혀두지 않을 이유가 없습니다.
(때론 더 빠른 풀이를 이끌어 내기도 합니다.)
수능 시험의 출제 범위는
교과서 + 평가원 기출
(& 교사경+EBS특강/완성)
임을 다시 강조하고 싶습니다.
그럼 20000
.
.
.
.
.
.
가형 20번의 분석이 마음에 들었다면 ~
2021 이동훈 기출문제집 오르비 atom 책 페이지 (아래)
7월 부터는 수능 수학독본
(수능 유형 기본서)
전자책도 출시 예정입니다.
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좋은 책 만들 수 있도록 노력하겠습니다. 감사합니다 ~ :)
기출 가형세트 딱대
각의 이등분선 성질과 할선정리의 증명과정은 닮음과 관련되어있으며 원주각과 중심각의 논의도 있습니다.
즉, 결국 그러한 따름정리도 교과서 내의 개념을 통해서 증명을 한 후 교과개념 내로 편입할 수 있지요. 그 과정에서 교과개념의 이해가 더 깊어지기도 할 것입니다.
제 경우 실제의 20번에서는 이등분각의 성질과 원주각의 논의로 닮음을 이끌어냈습니다. 할선정리를 쓰지않고 하더라도 몇초 더 걸리지않고 논의가 진행될 수 있습니다. (사실 외우는게 헷갈리기도 하구요..)
아무래도 교육과정을 벗어나는 개념의 활용을 하기 위해서라면 증명과정을 충실히 거치고 그 개념이 이전개념과 다르지않음을 체감하고 가는 편이 좋다고 생각합니다. 잘 읽었습니다.
좋은 글 감사합니다. :)
위의 풀이 외에 4개 이상의 풀이를 더 발견 하였고, 문서작업 하여 추후 업로드하겠습니다. 감사합니다. :)
만약 중등기하 만으로 풀어야 한다면 아래와 같이 두 닮음 삼각형을 찾아야하는데. 이건 당연해보이지만 중등기하에 대한 감을 늘 유지하고 있지 않으면 찾아내는것이 쉽지 않군요. 이 풀이까지 정리하여 추가 파일 업로드 하겠습니다. :)
B2D1도 닮음으로 보조선 안 긋고 쉽게 알아낼 수 있죠
애초에 할선정리를 닮음으로 유도하는 과정이랑 똑같아서...
할선 정리를 증명하는 과정을 풀이 과정에 직접 적용하는 것을 말씀하시는 것이군요. 검토해보겠습니다. 좋은 의견 감사드립니다 ~~ :)
바로 윗 댓글에 남기신 답글이랑 과정이 같네요~
아. 그렇군요. 오늘 저녁에 이 글에 첨부된 PDF를 업데이트 할 예정이니, 개정된 PDF도 참고해주시길 바랍니다. 새로운 관점에서의 풀이가 4개 이상 추가될 예정입니다. 감사합니다 ~~ :)
개정된 PDF로 업로드하였습니다. 감사합니다. :)