수학 칼럼(3)-미분가능성과 연속성
게시글 주소: https://orbi.kr/00030464795
네.
미분가능성과 연속성의 유명한 문장으로 시작해 보겠습니다.
간.미.연-간단히 말해 미분 가능하면 연속이다.
일반적으로 알고 있는 문장입니다.
그런데 주어가 누구냐에 따라 참이 되기도 거짓이 되기도 하는 문장이지요.
우선 미분 가능에 대해 알아보겠습니다.
다음 문제를 보겠습니다.
2013학년도 사관학교 문제입니다.
(당시 시험은 ㄱ.ㄴ.ㄷ 문제를 고르는 문제가 5문제 정도 출제되었습니다. 그 중 한 문제입니다. 지금처럼 모르면 5번이 안 통하던...)
모든 실수 x에 대하여 정의된 함수 f(x)가 x=a에서 연속일 필요충분 조건은
f'(a)의 값이 존재하는 것입니다. 미분계수 f'(a)의 정의는 수식으로...
따라서 다음이 성립합니다.
따라서 위 사관학교 문제의 정답은 ②번입니다.
여기서 ㄷ.을 눈여겨 볼 필요가 있습니다.
위의 세 번째 조건의 m=n일 같은 경우는 함수 f(x)가 x=a에서 미분 가능과 상관없이 좌,우 극한이 같게 되어 값이 존재하게 됩니다.
m=n=1인 경우를 Thomas Calculus 책을 번역한 대학교재에 중심화 차 몫이라고 번역되어 있습니다.
그래서 편의상 m=n이고 분모의 (m+n)을 제외한 식을 중심화 차 몫 꼴이라 하겠습니다.
참고로 {f(x+h}-f(x)}/h 을 페르마 차 방정식이라 합니다.
중심화 차 몫에 대한 문제는 많이 출제 되어 왔고 샘도 자주 출제했었습니다.
관련 내용 다음에 다룰까 하다 연관되는 내용이라 내용이 길어져도 여기서 바로 다루겠습니다.
다음 문제를 보겠습니다.
함수 f(x)가 x=0, x=-1을 제외한 모든 실수에서 정의되어 있고 a_n의 n이 자연수 이므로 a_n의 우변은 바로 5f'(n)입니다. f(x)가 미분 가능해서...그래서 풀이가 다음과 같습니다.
주의해야 될 점은 역시 미분이 되지 않을 경우입니다.
관련 문제는 Quiz로 아래에 배치해 놓겠습니다.
자. 그럼 지금까지 내용 정리해 보겠습니다.
실수 전체에서 정의된 함수 f(x)가 x=a에서 미분가능할 조건과 필요충분 조건은 f'(a)가 존재하는 것이다.
그런데 도함수 f'(x)는 x=a에서 연속일까요?
다음 함수를 보겠습니다.
이 함수는 x=0에서 정의되어 있고 f'(0)이 존재하므로 모든 실수에서 연속이며 미분 가능한 함수입니다.
그런데 도함수는
x=0에서 불연속입니다.
따라서 f(x)가 미분가능하더라도 f'(x)의 연속성은 보장받지 못한다는 얘기가 되는 것이죠.
처음으로 다시 돌아가 보겠습니다.
간.미.연-간단히 말해 미분 가능하면 연속이다.
f(x)가 x=a에서 미분가능하면 f(x)는 x=a에서 연속이다.(참)
f(x)가 x=a에서 미분가능하면 f'(x)는 x=a에서 연속이다.(거짓)
다음 기출 문항을 보겠습니다.
문장 마지막에 h''(x)가 연속이다.는 조건을 넣은 이유가 여기에 있다고 볼 수 있습니다. 그럼 h''(x)의 x=a의 좌우 극한값과 함숫값이 같다.를 이용하여 간단히 풀 수 있는 문제가 됩니다.
한 가지 더
다르부 정리라고 있습니다.[교과 외]
다르부 정리는 도함수가 사잇값 성질을 갖는다는 정리입니다.
그런데 도함수는 연속성을 보장 받지 못하다는 것을 알았습니다.
그럼 이렇게 정리할 수 있겠네요.
연속함수는 사잇값 정리를 만족한다.(참)
사잇값 정리를 만족하는 함수는 연속함수이다.(거짓)
그래서
실수 전체에서 정의된 연속함수 f(x)의 도함수 f'(x)는 x=a에서 연속이다고는 할 수 없지만 사잇값 정리를 만족한다.
관련 문제들 Quiz 입니다.
1번 중심화 차 몫 관련 문&이과용
2번 중심화 차 몫 관련 이과용
3번 중심화 차 몫 관련 킬러급
4번
이상 랑데뷰 수학 황보백 선생이었습니다.
(아, 저는 성이 황보입니다. 대구 송원학원 소속)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
지금 이태원 0
이태원 프리담~
-
졸리고 공하싫 1
하지만 해야함 언제 끝남 이 짓거리 근데 끝낼 준비는 안됨
-
이거 풀 때 입모양으로 으어아우오 이러면서 풂ㅋㅋ
-
해석 따로 안 해주는 거임?
-
이해원n제에서 배터리 3칸은 잘 풀면서 배터리2칸에서 막히고.. 히카도 21 22는...
-
수능 3점, 수특 레벨1 쎈b단계 상문제 제외 다 맞을 수 있음 근데 그 이후...
-
핑프 ㅈㅅ해요 두각 시대 둘다 현강 다니긴하는데 국어단과는 따로 안다닙니다...
-
국어는 어떻게 매일 하기가 싫지?
-
공부하다 뭔가 막힐 때 기본으로 돌아가 그 원리를 파악하고 다시 막혔거나 틀린...
-
하지만 먹을 수 없는 거 비비고 깻잎 고기만두 (냉동), 400g,...
-
시대북스 저번주 수요일에 주문한거 아직도 배송준비중이네 0
아무리 추석 껴있다 해도 같은날 시킨 다른 사이트 책들은 다 왔는데..
-
휴가다 0
-
좋은 아침이에요 2
-
4층복도 너무 어두워서 불키고 반은 더워서 복도소파에 앉아있었는데 복도 불이 자기...
-
올해 수능 보겠네 웃긴건 나도 본다는 점,,,,ㅋ
-
얼버밤샘 8
얼버기는 아닌거 같아요
-
왔다갔다 하는데 넘 오래걸려
-
그래서 좀 엄한 느낌이거든요 직원 분들이 친절한 분은 친절하지만
-
어때요
-
좀 아
-
얼버기 5
-
과외 늦을것같거나 들고가야할 물건이 너무 커서 지하철에 들고타기가 좀 그럴때가 아님...
-
국영수 화생이긴함 바뀔 수도 있고
-
얼버기 6
오랜만에 얼버기 인증
-
궁금한데
-
Which of the following statements is correct...
-
얼버기 10
등교중인데 습해 죽겄네
-
다들 왜이리 바쁘게살아
-
9모 기준 수학 88점 21,28,30 틀 기출은 수12 스텝1까지 핬고 미적...
-
여기서 제가 잘틀리는 번호 예) 31~34 36~39 만 골라서 풀어도 무방하겠죠?
-
얼버기 3
일어나라-
-
오운완 2
앙기모띠
-
새벽의 김지원 0
정직하죠?
-
ㄱㄱ
-
자기전에 딴짓안하고 바로 자는사람 있음? 그게 가능함?
-
윗 문제 해설에선 ”동등한 사람에게 동등한 몫을, 동등하지 않은 사람에겐 동등하지...
-
언매 기출 작년에 3번정도 돌리고 올해는 아예 안했는데 모고 보면 급하게 풀다 한...
-
잘자요다들 1
난공부하다잘깨ㅣㅔ
-
오늘의 똥글력은 여기까지인가보군
-
민지 투척! 0
ㅎㅎ
-
굿나잇 0
-
운? 재능? 노력? 셋 다지
-
리젠 살려내 1
아무나 오르비 살려내
-
철학?적인 논제 6
인생은 죽어간다? 살아간다?
-
사무라이 나와서 와뱌뱌 하는 만화로는 배가본드, 무한의 주인, 죽도 사무라이(그림체...
-
오개념때메 많이 억울하신거같던데 조만간 9평 해설 다시 찍는다고하심 생략한거나...
-
100일이 특별한 이유는 십진법체계에 익숙해져있기때문 2
따라서외계인에게는 1557일이 특별한 주기가될수있다
-
코~~
네~~아시겠지만 22학년도 9월 모평 22번이 중심화차몫 얘기입니다.
그 문제에서 h=>0+ 은 평가원의 배려라고 할수 있습니다. h=>0 으로 해도 상관없다는...랑데뷰 기출과변형,N제 등에 관련문제,변형문제들 많이 탑재되어 있습니다~~
그런데 제가 이런글도 남겼엏네요ㅎ