곡선의 길이 매개변수 질문

Question

첫번째. a부터b까지 루트 1+f'(x)^2 적분변수 x 적분하는게 기본식이고 이해가가는데

두번째.매개변수가 개입될때 예를 들어 t가 개입될때

x=f(t) y=g(t)

여기서 곡선의 길이를 적분변수 t로 적분한다면

식x=f(t)에 x에는 a를 집어 넣었을때의 t값을 c라하고 x에 b를 넣었을때 거기에 만족하는 t값을 d라한다면

곡선의 길이는 c부터 d까지 루트 1더하기 f'(t)의 제곱을 적분 변수t로 적분한값아닌가요?

여기서 질문이 왜 제가 본 참고서에는 그냥 매개변수가t일떄도 a부터 b까지 적분한것으로 되어있나요?
제가 뭘 놓친건지 모르겠습니다

수능은4개월 · Accepted Answer

당연히 아닙니다. 

x=f(t)  y=g(t) 라면 y= g(f역함수(x))=h(x) 가 됩니다. 이 h(x)가 기본식에서의 f(x)가 되고, 미분하면 훨씬 복잡해지면서 루트 1+f'(t)제곱 과는 
많은 차이가 있다는걸 직감적으로 아실 수 있습니다. 

 
그리고 참고서에서 적고있는건 그걸 직접 보기전에는 틀렸는지 알수가 없습니다;; 그래서 정리하면

공식은 쓰여져 있는대로 루트 f'(t)제곱+g'(t)제곱 으로 쓰시고, (x=f(t) y=g(t))


1. x=a에서 b까지 적분하라고 할때-> a=f(c) b=f(d) 임을 이용해서 적분범위를 c에서 d로 고치고 적분
2. t=a에서 b까지 적분하라고 할때 -> 그냥 a에서 b까지 적분하면 됩니다.

곡선의 길이 매개변수 질문

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