곡선의 길이 매개변수

Question

첫번째. a부터b까지 루트 1+f'(x)^2 적분변수 x 적분하는게 기본식이고 이해가가는데

두번째.매개변수가 개입될때 예를 들어 t가 개입될때

x=f(t) y=g(t)

여기서 곡선의 길이를 적분변수 t로 적분한다면

식x=f(t)에 x에는 a를 집어 넣었을때의 t값을 c라하고 x에 b를 넣었을때 거기에 만족하는 t값을 d라한다면

곡선의 길이는 c부터 d까지 루트 1더하기 f'(t)의 제곱을 적분 변수t로 적분한값아닌가요?

여기서 질문이 왜 제가 본 참고서에는 그냥 매개변수가t일떄도 a부터 b까지 적분한것으로 되어있나요?
제가 뭘 놓친건지 모르겠습니다

sos440 · Accepted Answer

(x, y) = (f(t), g(t))

로 t에 대해 매개된 곡선이 있다고 합시다. (단, 이 곡선은 좋은 곡선이라고 합시다.) 그러면 이 곡선의 길이는

L = ∫_{from a to b} √(f'(t)² + g'(t)²) dt

가 됩니다. 이 경우의 특별한 케이스로, x = x 이고 y = g(x) 이면 - 즉, 주어진 곡선이 어떤 함수의 그래프로 나타나고, 이 그래프를 x축 좌표로 매개화하였을 때 - 질문하신 식이 따라나옵니다.



왜 이런 식이 나오는지를 이해하셔야 이러한 일련의 스토리를 이해하실 수 있으리라 생각됩니다.

곡선의 길이의 식에 담긴 핵심적인 아이디어는, 주어진 곡선을 아주 잘게 썰어서 각 미소곡선을 직선처럼 생각하는 데 있습니다.

구체적으로, [a, b]라는 구간을 아주 잘게 나누어 a = t_0 < t_1 < … < t_n = b 으로 쪼개면, [t_0, t_1], …, [t_(n-1), t_n] 이라는 n개의 아주 작은 구간들로 쪼갭시다. 그러면

∑_{k = 1 to n} √[ { f(t_k) - f(t_(k-1)) }² + { g(t_k) - g(t_(k-1)) }²]

는 주어진 곡선의 길이와 가깝게 됩니다. 이제 쪼개는 폭을 더더욱 좁게 만들면, 위 극한은 곡선의 길이에 해당하는 값으로 수렴하겠지요. 그런데 중간값 정리에 의하여 시그마 내부의 식은 사실상

√( f'(t_k)² + g(t_k)² ) Δt_k      (단, Δt_k = t_k - t_(k-1))

과 같아집니다. 따라서 주어진 극한은 적분

∫_{from a to b} √( f'(t)² + g(t)² ) dt

로 수렴합니다. 그리고 마찬가지 아이디어를 y = f(x) 라는 그래프의 일부분에 적용하면 질문하신 식을 얻지요.

곡선의 길이 매개변수

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