공간도형 적분문제 올립니다. 참신한 풀이를 기대합니다.

Question

한변의 길이가 a  인 정육면체가 있다.이정육면체의 맞모금(가장 먼 거리의 두꼭지점을 연결한 선분)을 회전축으로 하여 회전시킨 입체의 부피는?저 같은 경우  단순한  적분방법과   벡터를  이용한  대수방정식 두가지로 풀어봤는데요.두가지 방법  다  만만한 방법도 아니고 계산도 복잡하고아주 정교하고 오차없는 공간적인 인지능력을 요구하는 방법입니다.이방법 이외에 뭔가  오감이 짜릿해지는  참신한 방법이나 또는 좀더 간단한 풀이를 발상해내실분 기대해 봅니다.

sos440 · Accepted Answer

어차피 이 문제의 가장 어려운 부분은, 회전체가 어떻게 생겼을지를 상상하는 부분입니다.

그리고 솔직히 말해서, 사전지식이나 시각적 보조장치 - 예를 들면, 마침 책상 한구석에 굴러다니던 루빅스 큐부 - 같은 것 없이는 상상하기가 꽤나 어려운 축에 속하지요.

만약 이 단계만 해결된다면, 나머지는 그렇게 어렵지 않지요. 문제의 회전체가 3개의 부분으로 나뉠 수 있고, 각각의 부피를 구하면 되거든요. (그것도 셋 중 둘은 원뿔입니다.)

개인적으로는 공간좌표를 때려박는 풀이를 좋아합니다만, 남들도 동의할지는 모르겠네요.



p.s. 개인적으로는 주어진 회전체를 다음과 같이 상상하면 편하다고 생각하고 있습니다:

정육각형을 (물론, 꼭지점을 지나는) 대칭축에 대하여 회전시켜 얻은 회전체 - 위 아래는 원뿔이고 중간은 원통) 를 생각해봅시다.

이 회전체의 원뿔 부분은 강인한 소재로, 중간의 원통 부분은 길다란 철사들이 나란히 모여서 만들어져 있다고 상상합시다.

이제 이 입체를, 양 끝의 원뿔 부분을 잡고 비틉니다. 그러면 중간의 철사들이 기울면서, 전체적인 형태 자체는 마치 중간의 원통이 안쪽으로 굽어버린 모양을 하겠죠?

문제에 주어진 회전체는 바로 이런 형태를 하고 있습니다.

CrossOver · Answer

예 가운데 부분이 쌍곡선의 형태를 띤 도형의 회전체이지요^^

Hack · Answer

참신한 풀이 없어요 ㅋ

CrossOver · Answer

참신한 풀이가 아니어도 좋으니
푸신분 안계십니까....???  
ㅠㅜ.....

배불러유 · Answer

http://orbi.kr/bbs/board.php?bo_table=united&wr_id=3049385&sca=&sfl=wr_subject&stx=cr

풀었는데 좀 봐주세요 ...

공간도형 적분문제 올립니다. 참신한 풀이를 기대합니다.

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