확률변수??.. (수리문제질문입니다.)

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엘의 후계자님이 만드신

모의고사 20번 문항입니다.

여기서 연속 확률 변수 Y를 Y = 2X로 하자. 고 정의했는데요..

도대체 Y = 2X로 하는게 무슨뜻인가요??

저는 확률 밀도 함수 g(y)=g(2x)=f(x)로 하자는 뜻으로 받아들였는데 그러면

제 생각대로면 예를 들면 그림이 저렇게되서, 넓이가 2가 되거든요..

도대체 Y = 2X로 하는게 무슨뜻인가요??

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sos440 · 104180 · 12/08/15 04:49 · MS 2005

확률변수는 각각의 근원사건마다 어떤 값을 대응시키는 함수입니다.

로또 복권을 예로 들자면, 45C6개의 가능한 번호 조합 각각마다 그 번호에 대한 상금을 대응시키는 함수도 확률 변수가 되겠지요.

따라서 Y = 2X라는 식은 말 그대로 함수에 2배를 해 준 것에 불과합니다. (이런 측면에서, 사실 주어진 문제에서 X의 정의역은 [0,1]인데 반해 Y의 정의역이 [0,2]인 것은 굉장히 어색하고 이상한 상황입니다. 함수에 2배를 했을 뿐인데 정의역이 바뀌면, 그건 정말로 이상한 것이지요.)

이때 우리는 이 확률 변수가 특정한 값을 가질 확률 혹은 특정한 범위의 값들을 가질 확률을 계산할 수 있습니다. 특별히, 주어진 확률변수가 연속확률변수이면 누적분포함수 P(X<=x)의 미분인

d/dx P(X<=x)

를 생각할 수 있는데, 바로 이 함수가 X의 확률밀도함수입니다. 따라서 주어진 문제의 경우

g(x)
= d/dx P(Y<=x)
= d/dx P(2X<=x)
= d/dx P(X<=x/2)
= (1/2)f(x/2)

가 성립합니다. 단, 마지막 줄은 합성함수 미분 공식을 사용하였습니다. (P(X<=x)의 미분이 f(x)니까요.)

그리고 노파심에 추가로 말씀드리고 싶은 것은, X의 정의역이 [0, 1]이라고 해서 확률밀도함수의 정의역이 [0, 1]이 될 이유가 없다는 것입니다. 사실 정의에서 볼 수 있듯이, 확률밀도함수의 정의역은 항상 실수 전체입니다. 따라서 ㄱ같은 경우 당연하게도 일반적으로 거짓입니다.

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엘의후계자 · 400909 · 12/09/23 20:00 · MS 2012

출제자로서 저의 의도를 말씀드리겠습니다.

문제에서

정의역이 [0,1]이라고 말한 것은 연속확률변수 X가 0<= X <= 1 의 범위에 해당하는 값을 가진다는 의미이고

정의역이 [0, 2]라고 말한 것은 연속확률변수 Y가 0<= Y <= 2 의 범위에 해당하는 값을 가진다는 의미입니다.

또한

연속확률변수 X는 0부터 1까지를 값으로 가지기 때문에

0부터 1까지 f(x)를 적분하면 1의 값을 가집니다.

마찬가지로 연속확률변수 Y는 0부터 2까지를 값으로 가지기 때문에 0부터 2까지 g(x)를 적분하면 1의 값을 가지고요.

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엘의후계자 · 400909 · 12/09/23 20:01 · MS 2012

따라서 ㄱ 같은 경우 당연하게도 일반적으로 참입니다.

sos404 님이

수학 잘하신다고는 하던데

이 부분에 대해서는

틀리신 것 같네요.

평가원에서는 어떤 식의 표현을 사용하고 있는지 참고해보시는 것이

좋을 것 같습니다.

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엘의후계자 · 400909 · 12/09/23 20:07 · MS 2012

덧붙이자면

X의 정의역이 [0, 1]이라고 해서 확률밀도함수의 정의역이 [0, 1]이 될 필요가 없다고 하셨는데

그렇다고 해도

[0,1]가 아닌 범위에서 확률밀도함수는 항등적으로 0이 되겠지요.

그러니 확률변수와 확률밀도함수의 정의역이 같아야 하느냐 다를 수 있느냐는

아무 의미없는 말장난에 불과하겠지요.

또한

평가원이 그동안 사용해온 표현을 보시면

확률변수 X의 정의역이 a 부터 b 까지이면 P(a<=X<=b) =1 이다

라는 명제가 성립한다는 사실을 알 수 있으실겁니다.

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엘의후계자 · 400909 · 12/09/23 20:10 · MS 2012

수학과에서 확률변수의 정의역을 이런 방식으로 이해하지 않는다고 하더라도

그동안 평가원이 이렇게 사용해왔기 때문에

아무런 문제가 없습니다.

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아방가르드 · 413426 · 12/08/15 11:05 · MS 2012

sos님 질문있습니다.
로또복권의 각 번호의 당첨확률을 상금에 대응시키는건 이산확률변수인가요?

또 확률밀도함수정의역이 실수전체가 될수있다고 하셧는데, 확률밀도함수를 정의역구간내에서 적분한값은 1이 되야된다는것에 모순이지 않나요?

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아방가르드 · 413426 · 12/08/15 11:11 · MS 2012

그거이 아니라면, 그 수많은 정의역중에서 우리가 확률밀도 함수구간을 다루는건 위끝아래끝을 적분하엿을때 1이나오는 구간만일려나

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sos440 · 104180 · 12/08/15 12:22 · MS 2005

(1) 로또복권의 각 번호마다 상금을 대응시키는 확률변수는 이산확률변수가 맞습니다.

(2) 확률변수는 정의상 실수 전체에서 적분한 값이 1이어야만 됩니다. 아마 실수 전체에서 함수를 적분하면 적분구간이 무한하니까 적분값이 1이 될 수 없지 않냐는 의문을 가지신 것 같습니다. 그러나 실제로 가장 유명한 분포중에 이러한 경우가 있지요. 바로 정규분포입니다. 평균이 0이고 분산이 1인 정규분포를 따르는 확률변수 X의 확률밀도함수는

f(x) = (1/√(2π)) e^(-x²/2)

로 나타납니다. 그리고 위 함수는 실수 전체에서 적분해야 1이 되지요.

그리고 확률밀도함수의 정의역이 실수 전체가 된다고 해도, 만약 확률변수의 치역이 유한하면 확률밀도함수 역시 그 치역의 범위 내에서만 0이 아닌 값을 갖습니다. 이는 확률밀도함수의 정의

f(x) = d/dx P(X ≤ x)

로부터 자명하지요. x가 치역이 속한 구간 밖에 있으면, P(X ≤ x) 는 값이 변하지 않으니까요. 따라서 이 경우에는 굳이 실수 전체에서 따지지 않아도 되지요. 예를 들어서 X가 [0, a] 위에서의 균등분포를 따른다면 (물론, a > 0), 즉

X : [0, 1] → [0, a] : X(x) = ax

라면, X의 확률밀도함수 f(x)는

f(x) = 0 (x < 0)
f(x) = 1/a (0 ≤ x ≤ a)
f(x) = 0 (x > a)

가 됩니다. 따라서 이 경우는 그냥 구간 [0, a]에서만 봐도 문제가 없지요.

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아방가르드 · 413426 · 12/08/15 12:36 · MS 2012

..정규분포를 생각못하다니 바보같네요. 아하, 구간내 외에는 사실 0으로만 봐도 무방하군요

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