고2 기하 선택자, 고3 문과 선택자 필수!
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이전 칼럼을 반드시 참고해주세요..
기출 변형입니다. 문과분들이 자연상수 e를 배우지 않기 때문에 밑을 자연수로 바꿨습니다. 한번 풀어보시고 참고해주세요 2022 기하 선택자 분들도 수학1과 기하파트가 통합출제될 가능성을 바라본다면 올해보다도 내년 비킬러 문제로 출제될 가능성이 높다고 판단됩니다.
두 직선이 직교한다는 것이 결국은 내적이 0되는 값을 의미하니까요. 고등학교 교과과정으로 한정했을 때는 기하단원 벡터의 내적과 일부 지수로그함수의 그래프 개형으로 풀이하는 게 출제의도가 아니였는 생각을 합니다.. 저도 시험장에서 그렇게 풀었고요.
고등학교 교육과정에서 두 직선이 이루는 기울기 곱이 -1인 점은 중학교에서 배우고 들어오기 때문에 이점을 유의하시면서 풀어보시면 될 것 같습니다.
lnx -> log(2,x) e^x -> 2^x로 바꾸어 생각해주시면 됩니다
행동양식은 다음과 같습니다.
1. 밑이 2로 같다.
2. 역함수와의 관련성을 떠올린다.
3. 좌표설정에서 log 함수의 진수(x에 들어가는 값)을 밑이 2인 지수식으로 두어 log 함수의 치역(y값)을 복잡한 식의 형태가 아닌 자연수(혹은 정수)로 나타날 수 있게 정리한다.
4. 변 길이에 대한 Hint를 이용하고, 역함수와 관련있음을 떠올린다면 좌표의 실수배(2를 곱한다거나 하는 행위)를 통해서 임의의 log 함수에 대한 지수함수의 좌표값을 길이비를 활용해 설정할 수 있습니다. (위의 손해설에서 좌푯값이 2배가 된다는 점을 주목.)
5-1. 2021 수능 ver.
기울기 곱이 -1임을 이용한다.
증명 방식은 간단합니다. (0,0)에 대하여 직교하는 임의의 좌표를 설정 후, 피타고라스 정리를 사용하거나, 5-2에서 사실관계로 사용하게 될 "벡터의 내적"을 사용하면 기울기 곱이 -1임을 알 수 있고, 풀이의 일반성을 잃지 않고 (0,0)이 아닐 때에도 성립합니다.
5-2. 2022 수능 기하 선택 ver.
내적값이 0이 됨을 이용한다.
4번과 5번의 풀이 순서를 어떻게 두느냐에 따라 문제 해결에 대한 과정도 복잡성을 띄게 됩니다. 직교함을 이용하려면 좌표를 각각 설정해준 후 길이가 2배임을 사용하면 되지만 4번의 아이디어가 떠오르지 않는다면 단순무식한 점과 점사이의 길이 공식(피타고라스)와 연립방정식을 풀어야만 답을 구할 수 있을 것입니다.. 4번에 대한 발상은 그렇게 중요한 것은 아니나, 풀이 시간을 단축시킨다는 점에서 알아두시면 좋을 것 같습니다.. 출제진들이 밑이 2인 지수, 로그 함수를 괜히 주어주지는 않았다는 점을 인식해야겠죠.. 또한 대놓고 역함수가 아닌 역함수에 대한 축에 대한 대칭을 한번 더 한 함수를 준 것은 아마도 길이비에 대한 발상을 한번 더 은폐하여 당시 문제를 풀 때에 시간을 끌기 위한 과속방지턱 역할을 해주지 않았나 생각됩니다.. 생각보다 저 문제 한번에 못풀고 넘어갔다가 다시 푼 상위권 학생들이 있었다는 건 15번 포지션에서의 터무니없는 정답률이 말해주는거겠죠..?
다음 칼럼은 제가 복습하기 위한 용도이기도 합니다. 풀이에 대한 비판과 욕설은 자제해주시고, 이 문제에 대한 다른 의견있으면 함께 공유하면 좋은 시간이 될 거 같네요.. 감사합니다!!
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A랑 B 좌표 잡고 직선 기울기 구해서 곱 -1 하면 끝나는건가요?
좌표 눈으로 바로 잡을 수 있으면 그렇게 푸시면 바로 끝납니다
닮음으로 푸는 게 훨씬 깔끔하지 않나요?
저걸 머리속에 생각해두면 푸는데 1분 안걸렸어요
풀이 방법이야 다양하죠~ㅎㅎ
그래프 그릴 생각을 했다면 닮음 문제로 한가지 과정을 더 거치는게 정확도 면에선 좋은 거 같아요! 굳이 그래프 안그려봐도 제 사고과정을 사용하기에는 계산 실수의 위험도 있으니까요!
현역때 그래프 y축대칭 한번 그리고 x축대칭한번 그리고 이거 설마 90돈가..?하고 풀었던기억이....
뀹