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★줄리우스 시저★ [958728] · MS 2020 (수정됨) · 쪽지

2020-04-17 22:44:15
조회수 7,078

수학 단원별 칼럼 (1)- 삼각함수 사인법칙과 코사인법칙의 구별

게시글 주소: https://orbi.kr/00029470231

이전에 수열부터 올리겠다고 하였으나

삼각함수가 궁금하다고 말씀해 주시는 분들이 꽤 있어서 삼각함수부터 올립니다.

수열 칼럼은 4월 25일경에 올릴 예정입니다.

차후에는 확률과 통계 총론- 국어 문법을 2분 내로 끊는 법(2)- 등비급수의 도형- 미분과적분


순으로 올릴 예정이고요....


아래는 참고하면 좋은 글들!!!!!!!


<<<국수 공통>>>

고정 100점은 과연 재능의 영역인가?

https://www.orbi.kr/00028495664


<<수학>>

수학, 고정 100점을 향해서 (1)-준킬러 뛰어넘기

https://www.orbi.kr/00028863665


수학에서 뇌절하지 않는 방법

https://orbi.kr/00029194000


<<국어>>
 정보를 처리해 나가는 논리적인 연결 과정

https://orbi.kr/00028566911


수능장에서 문법을 2분내로 끊는 방법론 (1)

https://orbi.kr/00029070752


+) 최근에 뻘글만 써서 많이 놀라셨죠?

팔로워분들의 피드에 누를 끼쳐드려 죄송하고요.......

앞으로 시간 되는대로 써놓은 칼럼들 정리해서 올리겠습니다.

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‘수학 공부를 한다’ 라는 말의 의미는 ‘경험을 쌓고, 누적시켜 나간 경험을 바탕으로 상황과 그 상황별 해결책을 정리해 나간다’라는 의미와 같습니다.


즉, 문제풀이 경험을 통해 ‘그 문제를 어떻게 접근할지’와 ‘그 문제가 나온 배경 상황이 무엇인지’를 연구하여 이를 개념과 연결하는 과정이 필수적입니다.

그 과정이 반복되면서 생각이 하나로 수렴되어 나간다면, 수학 문제풀이의 바탕이 되는 지반이 단단해지고, 그 지반을 바탕으로 문제를 푸는 실력도 함께 올라가게 됩니다.


삼각함수는 크게 두 가지 측면, 즉 ‘그래프’와 ‘도형’ 측면에서 해석되나 여기에서는 도형적인 측면만 다뤄보겠습니다.


삼각함수를 공부함에 있어 핵심이 되는 도구는 ‘원’과 ‘일반적인 삼각형’입니다.


원은 교과서 상에서 다음과 같이 정의됩니다.

‘평면 상에 한 점이 있을 때, 그 한 점으로부터의 거리가 같은 점들의 집합을 ’원‘이라고 한다’

또한 이 원에는 여러 가지의 성질들이 있습니다.

대표적인 것이 바로 ‘원주각’이고 이는 ‘현과 원의 교점에서 원 위에 한 점을 향해 두 개의 선분을 그엇을 때 그 끼인각의 크기는 같다’로 정의될 수 있습니다.


즉, 원이 나오면 이 원은 ‘각’과 ‘길이’를 동시에 볼 수 있는 하나의 도구가 되는 것입니다


다음으로, 일반삼각형입니다.

여기에서 일반삼각형이란, 이등변삼각형, 정삼각형등과 달리 관계가 특수하지 않아 내가 직접 관계를 설정해야 하는 삼각형‘을 의미하고 대표적으로는 아래 그림과 같습니다.



이 일반삼각형을 다루는 도구가 바로 사인법칙과 코사인 법칙입니다.

또한 이 도구를 상황에 맞게 구분하는 것이 중요하면서도 삼각함수에서 가장 어려운 해결 과제 중 하나입니다.


지금부터 ’사인법칙과 코사인법칙의 구별‘을 중심으로 상황들을 구분해 보겠습니다.

문제에서 구하라는 값은 길이 하나만 있는 것으로 간주하도록 하겠습니다.


삼각형 상에서의 모든 값을 미지수로 둔다면 미지수는 총 여섯 개가 됩니다.

(변의 길이 3개, 각의 크기 3개)

또한 이 미지의 값들 중 최소한 일부는 문제에서 주어집니다.

결국은 ’주어진 값들 사이의 관계‘가 문제 상황의 변수가 됩니다.


사인법칙의 수식은 다음과 같습니다.



즉, 마주보는 한 쌍의 각의 크기 또는 외접원의 반지름과, 내가 구해야 하는 변을 마주보는 각의 크기가 주어져 있다면 사인법칙을 쓸 수 있게되고 이것이 가장 쉬운 상황입니다.

(+외접원의 반지름의 길이는 사인법칙에서 하나의 각을 안다면 마주보는 길이를 구할 수 있다는 점에서 매우 중요한 값입니다.)


그러나 아래와 같이 복잡한 상황들이 나올 수도 있습니다.

외접원의 반지름을 모른다는 전제 하에서,

알고 있는 값 (동그라미 친 값)이 교차되어 전체를 알지 못하는 경우


길이만 알고 각은 모르는 경우(각만 알고 길이는 아는 경우는 길이 자체를 구하는 게 불가능합니다)


위와 같은 상황에서는 사인법칙의 사용이 불가능하고 이 경우 사용해야 하는 법칙이 코사인법칙입니다.


즉, 위의 상황을 정리하자면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.


<<<정리1>>>
 외접원의 반지름을 알거나 한 쌍의 마주보는 변의 길이와 각의 크기를 아는 상황에서,

구해야 하는 변과 마주보는 각의 크기를 추가적으로 알 때 사인법칙을 사용한다.


외접원의 반지름 또는 단 한 쌍도 마주보는 변의 길이와 각의 크기를 모를 시,

코사인 법칙을 활용하여 모르는 값을 채워 넣어야 한다.


그렇다면 코사인 법칙은 어떤 형태로 쓰여야 하는가?

위에서 예시를 든 상황 가운데 다음과 같은 상황이 있었습니다.



이 경우에는 다음과 같이 내가 아는 값만 한 곳에 몰아 적으면 변의 길이를 채울 수 있습니다.



(빨간색으로 동그라미 친 값이 구해지는 값이 되도록......)


또한 다음과 같은 상황도 있었습니다.



이 경우에는 ’내가 구해야 하는 각의 크기가 어느 한 곳에 몰려있도록‘ 계산하면 됩니다.



+ 사인법칙을 쓸 수 있는 상황이나 구해야 할 값과의 연관성이 떨어진다면?

이를테면 아래와 같은 상황에서 C를 구해야 한다고 합시다.



이렇게 ’사인법칙과 직접적인 연관성‘이 떨어지는 경우에는 길이 C를 미지수로 두고 이차반정식을 푸는 방식으로서 코사인법칙을 그 대채제로서 활용할 수 있습니다.


그렇다면 이 모든 사건들을 일반화해서 한 분장으로 표현하자면?
 ’구해야 할 값들이 직접적인 연관성이 있는 경우에는 사인법칙을 사용하고,

직접적인 연관성이 떨어지는 경우에는 코사인법칙을 활용한다‘라고 정리할 수 있겠습니다.

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처음 쓰는 단원별 칼럼입니다.

내용은 최대한 쉽고 간결하면서도 핵심을 드러내게 쓰도록 생각해 보았구요.......


오늘 칼럼은 스스로 흡수하는 데 별다른 어려움이 없었을 것으로 생각이 듭니다.


그럼 다음 주에 다음 칼럼으로 뵙도록 하겠습니다.


도움 되셨다면 좋아요 한번씩!!부탁드립니다!!!

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