수학 질문,, 상상이 안됨
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f(x+y)=f(x)+f(y), f(x)는 실수 전체에서 미분 가능.
이 조건이면 f(x)는 원점을 지나는 직선이잖아요
근데 저기서 미분가능 조건을 빼면 안되나요? 모든 실수에서 저 식이 성립한다면, 미분 불가능해도 원점 지나는 직선 나올꺼같은 느낌만 들고 잘 모르겟어요ㅠ 수학 잘하시는분 설명 부탁드려오ㅜㅜ
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저게 왜 직선이죠?
그걸 x에 대한 함수로 보고 y는 상수 취급해버리고 미분하면 f'(x+y) = f'(x) 가 나오고 이때 y값을 무슨 값을 가져도 성립하므로 x값이 무슨 값을 가져도 일정한 값이면 성립하죠. 그래서 f(x) 형태는 상수함수의 적분함수꼴로 나온다고 볼 수도 있습니다...
음 그쵸..? 네 글구 f0=0이어서 원점 지나구여 근데 저게 미분 가능조건이 없을때는 이런식으로 증명 불가능하니까..(? 어떻게 될지 궁금하ㅣㅐ요
저런 f(x)는 ax의 형태일걸요
편미분 공부할 때 많이 사용할만한 표기법입니다. 단 조심할 것은 저런 표기에서 나오는 x와 y를 우리가 기존에 함수표기에서 사용하는 y=f(x)에서의 x, y로 생각하는 것은 잘못된 생각입니다.
저런 식에서 x, y는 그냥 x(1), x(2) 그렇게 생각하셔야 합니다...
f(x+y) = f(x) x f(y)
f(xy) = f(x) + f(y)
위 두개는 지수함수하고 로그함수고요
저런 편미분 공부할 때 많이 나오는게
f(x+y) = f(x) + f(y) -2xy
뭐 이런겁니다...
음 이때도 미분가능조건 달려있는거죠? 그런 식들에서 미분가능 조건 빼면 성립 안하게 되나요??
미분가능하지 않으면 편미분 공부할 때 쓸일이 없죠
음 편미분 공부는 안해바서 필요없는 (벗어난) 질문일 수도 있긴하지만, 예를들어 저런식을 만들어 역으로 미분가능을 추정하거나..? 그럴수 잇지않을까요? 저런 식에 항상 미분가능이 붙어있던데 없으면 어떻게 될지 궁금해요
없으면 위에 올린 사진처럼 미분계수 정의써야 하는거고요 미분가능조건이 있으면 그냥 막바로 편미분으로 들어가서 처리하면 됩니다...
근데 저 미분계수 정의도 미분가능을 전제로 들어가는거아닌가요?
미분계수값이 존재하면 미분가능한겁니다... 값이 존재하지 않으면 미분불가능한거고요...
미분가능할때만 미분계수 정의를 쓸수 있다면 언제 미분가능한건지 어떻게 알 수 있겠습니까... 즉, 미분계수 정의를 써서
결과가 있으면 미분가능한거고
결과가 없으면 미분불가능한거고
물론 단변수 함수에서 그리고 점에서 따질때요...
음 미분계수가 있는지 없는지 모르는건 안될까요..? 사실 저 상황이 어떨지 잘 상상이 안되는거라 저도 뭘 묻고싶은건지 표현을 못하겠는데ㅜ 음 그냥 저 식은 항상 미분이 가능한, 약간 이런건가요??
좋은 예시를 갖고 오기 힘들긴 한데
x가 무리수 일때는 f(x)=0이고 유리수 일때는 f(x)=x인 그래프
뭐 이런거 가져오면 저 식을 성립시키지 않을까요
사실 제가 든 예시도 잘못되긴 했는데 어쨌든 비슷한 거요
ㅜ이경우는 안되는거 같은데요 (혹시 답글 2번달렸으면 제폰에서 첫번째 단 답글 안떠서 다시단겁니다) 미분가능없어도 저 식은 실수전체에서 성립할때 쫘라락 다 이어질꺼같은 느낌이 드는데 그게 느낌이어서 ,, ㅜ 불가능할까요?
잘 모르겠지만 불가능할것 같은 느낌이네요