우선 이 방법을 고안한 것은 대부분의 많은 학생들이 알고 있는 개념을 문제에 연결할 줄 모른다는 거다. 그 연결고리에는 여러 도구들이 필요한데 이 도구들을 어떻게 적제 적소에 써야 되는지를 정리하여 학생들이 고난도 문제의 접근에 좀 더 쉽게 접근 할 수 있게 도움을 주고 싶다.

2. 수학에 필요한 도구들 3가지

1) 개념

너무나도 당연한거지만 이 당연한걸 학생들은 잘 모른다.

그냥 어렴풋하게 잡히는 것이 아니다. 확실히 잡히는 무언가가 있어야 한다.

개념이 확실히 잡히려면 나의 확고한 개념서가 필요하다. 그게 무엇인지는 사실 중요하지 않다.

2) 직관

사실 이 부분이야 말로 실력향상을 위해 정말로 중요한 부분이다. 개념을 알 고 있는데 어려운 문제가 안 풀리는 이유가 이 직관에 있는 경우가 대부분 이다. 하지만 직관력은 타고난 것이 아닌 후천적인 학습에 의해 개선될 수 있고, 그렇게 제대로 된 방법으로 수학공부를 해야만 요즘의 수능문제를 풀 수 있는 힘이 길러진다.

3) 계산

의외로 계산이 되지 않아 좌절하는 경우가 정말 많다. 이 계산은 단순 초중 등 연산연습이 재대로 되어 있지 않거나, 문제 풀이의 습관이 부정확하게 잡 혀 있는 경우가 많다. 이 경우 문제풀이를 공책에 푸는 습관을 들이고 단순 연산 중 어느부분에 문제가 있는지를 점검하여 반드시 체크하여야 한다. 아 무리 전략을 잘 세워도 맞추지 못한다면 의미가 없는 법이니 말이다.

3. 맵핑법의 목적

많은 학생들이 개념은 아는 데 어려운 문제가 안풀린다고 이야기 한다.

하지만 이러한 많은 학생들은 정확히 어디가 문제여서 문제를 못 푸는 지에 대해 알지 못한다. 내가 아프면 의사에게 정확하게 어디가 어떻게 아픈지 알아야 그 병에 맞는 알맞은 진단을 하고 약을 처방할 거 아닌가?

맵핑법의 목적은 이러한 고난도 문제에 풀이에 있어서 스스로 어떤 개념이 부족하고 어떤 연결을 하지 못했는지에 대한 구체적인 해결방안을 모색할 수 있는 가이드 맵이다.

어려운 문제들은 일반적으로 3~4개정도의 개념과 논리적인 추론, 구조화 등을 거쳐 풀어가야 되는 고차원적인 형태로 이루어져 있다. 하지만 대부분의 문제집의 해설집은 이러한 내용들에 대한 직관적인 개연성은 무시한 채 당연하다는 듯 전개가 되어 있는 것이 현실이다.

그렇기에 스스로 문제를 풀 수 있는 구조화를 통해 그림을 그리고, 각각의 조건간의 연계관계를 따지면서 문제를 분석하고 해석하는 습관을 들여 어려운 문제에 대한 직관력을 키우는 것, 그것이 맵핑법의 목적이라 할 수 있다.

4. 맵핑법의 적용 / 활용

우선 고난도 문제풀이는 3 단계로 이뤄져 있다.

#1 문제, 조건의 분석

#2. 출제자 의도 파악 & 문제 해결의 전략 세우기

#3. 최종적인 계산

#1 문제, 조건의 분석

문제 조건의 분석은 일반적으로 먹기 좋게 주지 않는 문제들을 먹기 좋게 바꾸는 과정을 이야기 한다. 실생활 활용 문제에서 식의 조건을 분석해야 하거나, 그래프로 나와 있는 조건을 분석하여 상황을 파악하거나, 도형문제의 조건을 여러 도형의 성질을 이용하여 체크해야 할 때를 조건 분석 단계로 본다. 일반적인 4점짜리 문제는 이 단계에서 풀이가 완료 되는 경우도 대단히 많다.

#2 출제자 의도 파악 & 문제 해결의 전략 세우기

사시 고난도 문제의 가장 중요하다 볼 수 있는 이 부분은 많은 학생들이 문제를 어려워 하는 근본적인 이유라 볼 수 있다. 출제자가 문제를 낸 목적 및 필요 개념을 파악하고 단계별로 어떻게 풀어가야 할 지에 대한 전략을 짜는 과정이라 볼 수 있다.

이 과정에 (1) 그래프 개형 추론, (2) 조건 추론, (3) 주어진 조건을 익숙한 형태로 변형, (4) 상황 나누기 등이 들어가며 복합적인 개념들이 같이 출제 될 수 있기에 이부분의 구조화를 확실히 할 필요가 있다.

#3 전략을 세운 것을 파탕으로 답을 도출하기 위한 계산을 하는 단계,

이 부분에서 실수가 나지 않게 하기 위해서는 기본적인 연산이나 계산법등을 반복 숙달하여 빠르고 정확하게 푸는 연습을 해야 한다.

눈치챘겠지만 이 중 맵핑법은 1~2단계를 가시화 시켜 문제 해결의 전략을 세우는 과정에 대해 구조화 시키고 그것을 그림으로 표현하는 법이라 할 수 있다.

밑의 예시문제를 통해 어떤 식으로 맵핑이 이뤄지는지 살펴보자.

우선 이문제의 경우 주어진 조건은 하나밖에 없다. 하지만 그 개념을 가지고 를 찾는데 필요한 개념은 총 4가지 개념이 들어간다. 그럼에도 불구하고 이 문제를 만약 풀지 못한 학생들은 내가 뭐를 몰라서 틀린지 모른 채 그냥 모르는 문제 취급하고 만다.

이등분한다는 조건이 주어졌을 때 생각해야 되는 개념의 쓰임은 총 3가지 이다. 첫째는 동위각, 엇각, 맞꼭지각, 원주각 등의 동일한 각을 찾아 닮음관계를 찾는 쓰임이다. 둘째는 각의 이등분선 정리, 마지막은 미적분에 나오는 삼각함수의 덧셈정리 중 배각공식의 쓰임이다.

이렇게 한 개의 조건이 나왔을 때 그 개념의 쓰임이 어딘지에 대한 목록화가 이루어 져야 한다. 그래야 주어진 조건에 맞는 출제자의 의도와 전략을 세울 수 있다.

이 문제의 경우 앞서 내용보다는 조금 복잡한 형태인 것을 알 수 있다.

우선 주어진 조건이 2개이며 이 조건을 이용해 그래프를 추론해야 하는 고난도 문제 유형이다. 만약 그래프를 찾았다고 하더라도 그 추후 ⓐ조건을 활용하여 조건을 가공하여 을 찾는 것 까지 총 4~5단계를 거쳐야 비로소 답이 나온다는 것을 알 수 있다.

그리고 이에 사용된 개념은 1. 이차함수, 2. 조건이 주어진 함수 추론(수능개념) 3. 평행이동과 정적분 4. 시그마의 계산 총 4가지인데, 이중 1,3,4는 교과서에 나온 개념들이지만 2번 개념의 경우는 교과서에 나오지 않는 주어진 조건을 가지고 함수를 추론하여야 하는 ‘수능개념’이다. 이러한 수능 개념의 경우는 비슷한 추론 문제들을 통해 반복 훈련하고, 고난도 문제에 직접 적응해 보는 연습이 필요하다.

실제로 아래 문항에 직접 적용 해보자.

(문항출처 110615 N제)