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펍펍팝팝폽폽 [405926] · MS 2012 · 쪽지

2012-04-16 10:26:37
조회수 1,036

산술기하에대해서여쭤볼게있구.. 증명법좀알려주세요.

게시글 주소: https://orbi.kr/0002869054

*산술 기하 조화 코시슈바르츠 등에서 등호가 성립하기위해서는 곱이나 합이 일정해야함.
이걔무슨말인지 도대체 이해가안되네용.

[문제에서]
y=x^2+1/x .  y=2x^1/2
이 두 그래프가 만나는 접점을 구할때
산술기하평균을 이용할때 주의해야할점이

x^2+1/x >= 2 x^1/2
이렇게 쓰는 것이아니라

x^2+1/2x+1/2x >= 3 (x^2 곱하기 1/2x 곱하기 1/2x)^1/3 이라는데

그 이유가 등호가 성립하기위해서는 곱이나 합이 일정해야되기때문에
1/x를 1/2x+1/2x로 쓴다는데 이말이 이해가안되네요.
1/x를 1/2x+1/2x로 쓰면 곱이나 합이 일정해지나요?

...............................................

증명법있잔아요.
종류가여러가지인데.

귀납법하고 막 아 이름이 기억이안나네.
3가지였던가같은데 각 증명법이 어떤 특성지니고 어떤상황에서 쓰면 좋은지좀 알고계시면 알려주시면 안될가요...(?)

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펍펍팝팝폽폽 [405926]

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  • sos440 · 104180 · 12/04/17 00:44 · MS 2005

    설명에 조금 잘못된 점이 있습니다. 산술기하나 코시-슈바르츠의 등호조건은 한 쪽이 상수여야만 성립하는 것은 아닙니다. 예를 들어 산술기하는 등장하는 모든 양들이 같아지는 것이 등호조건이며, 코시-슈바르츠는 두 벡터가 평행한 것이 등호조건이 됩니다. 따라서 등호조건 때문에 한 쪽을 상수로 만든다는 설명은 잘못된 설명입니다.

    하지만 곱과 합을 일정하게 만드는 것이 좋은 풀이임에는 의심의 여지가 없습니다. 그리고 그 이유 역시 별거 없습니다. 바로 우리가 부등식으로 만들어 낸 값이 '최소값' 혹은 '최대값'임을 보장해주기 위해서입니다.

    간단한 예로, x ≥ 0 일 때 x² + 1 이라는 식의 최소값을 구한다고 합시다. 당연히 최소값은 1이지요. 그런데 문득 어떤 사람이

    '아, 산술기하 부등식을 쓰면 x² + 1 ≥ 2x 이고, 여기서 등호가 성립할 조건은 x² = 1, 즉 x = 1 인 것이다. 따라서 x² + 1 ≥ 2 이고, 최소값은 2이다.'

    라고 주장했다고 합시다. 어디가 틀렸을까요? 네, 간단합니다. 마지막 문장이 잘못되었습니다. 산술기하로부터 x² + 1 ≥ 2x 인 것도 참이며, 등호가 x = 1 일 때 성립하는 것 또한 참입니다. 그런데 그래서 어쨋다는 것일까요? 그게 최소값이랑 무슨 상관이 있지요? 상관이 없습니다. 산술기하로 얻어진 부등식이 최소값을 알려준다는 보장이 전혀 없다는 것입니다.

    최소값 혹은 최대값의 정의를 다시 한 번 살펴봅시다. 주어진 x의 범위에서 f(x) ≥ m 이 항상 성립하고, f(x) = m 을 만족시키는 x가 그 범위 내에 존재하면, m을 f(x)의 최소값이라고 부릅니다. 그리고 최대값 역시 마찬가지로 정의됩니다. 따라서 우리가 어떤 양 f(x)의 최소값을 알아내기 위하여 체크해야 할 두 가지 조건은 다음과 같습니다:

    (1) 부등식 f(x) ≥ m 이 항상 성립하는가?
    (2) 방정식 f(x) = m 이 해를 갖는가?

    이에 비추어 볼 때, 우리가 산술기하 혹은 코시-슈바르츠 등을 사용하는 가장 큰 목적은 뻔합니다. 그 부등식을 사용함으로써 최소값 혹은 최대값을 얻고 싶기 때문입니다. 이때 부등식을 교묘하게 잘 사용하면, 첫째, 부등식 그 자체로부터 (1)을 바로 얻어낼 수 있으며, 둘째, 등호조건으로부터 (2) 역시 확인할 수 있습니다. 따라서 가급적 한 쪽을 상수로 맞추려고 노력하는 것입니다.

    질문하신 예제, 즉 x² + 1/x 의 최소값을 구하는 문제 역시 같은 맥락입니다. 그리고 유명한 트릭이지요. x² + 1/x 에 산술기하를 적용해서 최소값을 알고 싶은데, 그대로 적용하면 (2)는커녕 (1)의 식마저 만들어낼 수 없습니다. 따라서 교묘한 조작을 하는 것이지요.

    x² + 1/x = x² + 1/(2x) + 1/(2x)

    로 적으면, 3개항에 대한 산술기하 부등식

    (a+b+c)/3 ≥ (abc)^(1/3), (단, a, b, c는 음이 아닌 실수이고 등호는 a = b = c 일 때 성립)

    으로부터

    x² + 1/x
    = x² + 1/(2x) + 1/(2x)
    ≥ 3·{(x²)·(1/2x)·(1/2x)}^(1/3)
    = 3·(1/4)^(1/3)

    를 얻으며, 등호가 성립할 필요충분조건은 x² = 1/2x, 즉 x = 1/³√2 입니다. 따라서 주어진 값이 x² + 1/x 의 최소값이 됩니다.

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  • 펍펍팝팝폽폽 · 405926 · 12/04/17 09:02 · MS 2012
    회원에 의해 삭제된 댓글입니다.
    좋아요 0
  • 펍펍팝팝폽폽 · 405926 · 12/04/17 09:02 · MS 2012

    대..대박 -_-;;감사합니다. 예전에 수리논술듣다가 궁금했던거 물어볼때가 없어서 sos님의식하면서 여기다 물어봤는데 설명해주시네용 감사합니당 ㅎ

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