[풀이연구] 2019-3월 고2 수학 나형 17번
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[고민] 원의 방정식을 완성시키는 상수 a를 어떻게 구할까?
--> 너무 쉬워요!^^ 조건 (가)에서 원점을 지난다고 했으니
x=0, y=0을 원의 방정식에 대입하여 a의 값을 구합니다.
a2 - 9 = 0 이므로 a = +3 또는 -3 입니다.
--> 조건 (나)에서 이 원이 직선 y = -2와 서로 다른 두 점에서 만난다고 했으므로,
a = 3 일 때의 원과 a = -3 일 때의 원을 그려서 y = -2 와 두 점에서 만나는지
여부를 확인하면 상수 a의 값을 확정할 수 있습니다.
[해결] 주어진 원의 방정식을 중심점과 반지름을 알 수 있도록 정리해 보면
(x - 2)2 + (y - a)2 = 13 입니다.
(i) a = 3 일 때
중심 좌표가 (2, 3)인 이 원은 직선 y = -2와 만나지 않으므로 조건 (나)를 충족하지 못합니다.
(ii) a = -3 일 때
중심 좌표가 (2, -3)인 이 원은 직선 y = -2와 서로 다른 두 점에서 만납니다.
이 그림에서 두 교점 간의 거리를 구하는 것이 문제에서 요구하는 바입니다.
두 교점의 거리는 아래 그림과 같이 '피타고라스 정리'를 이용하여 구하면 되겠습니다.
위 그림에서 선분 CP = √13 (원의 반지름), CH = 1
피타고라스 정리에 의해 PH2 = 13 - 1 = 12 --> PH = √12 = 2√3
선분 PQ = 2 x PH = 4√3
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** 어려운 문제가 아니라, 시험장에서 얼마나 빨리 해결하느냐가 중요한 문제입니다!
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