이 문제좀 도와주세여! 수리 적분단원입니다

Question

독학생이라 물어볼 곳이 여기 밖에없는데
문제를 쓰려니 인테그랄부터 도함수부터 제곱하고 난리나는데 이걸 쓰려니 참 어렵네요

문제: 다음 두 조건을 만족하는 상수함수가 아닌 다항함수 f(x)가 존재하도록 하는 실수 k의 값의 범위를 구하세여.
가.
인테그랄 [{f'(x)}^2 + f(0)] dx = kx + f(x) + C (단,C는 적분상수)
나.
f(x+y) = f(x) + f(y) - 1 

제가 이걸풀때  좌우변의 최고차항이 같다고 해서 보면 f(x)의 차수를 n 이라고 하였을때!
좌변의 최고차항은 2(n-1)+1 임을 쉽게 아는데 우변은 최고차항이 무엇인지 어떻게 아나요? n일 수도 있고 1일수도 있잖아요 그럴땐 어떡해야하나요?

백학처럼날자 · Accepted Answer

답이 뭔가요??k가 3/4보다 작다인가요??

KIKERO · Answer

답은 k가 3/4보다 크거나 같다 예요.
님 어떻게 푸셨는지 좀 알려주세요

백학처럼날자 · Answer

답글로 적어주셨으면...ㅎ 왜냐하면  f(x)가 다항함수이면 연속함수라는 뜻이니까 가에 나온 식을 양변을 다 미분할 수 있는데 보면 f'(x)^2+1=k+f'(x)이면 f'(x)^2의 차수와 f'(x)의 차수가 같을 테니까 이런 경우는 오직 f'(x)가 상수항일 때니까 f(x)는 오직 일차식만 가능한 거 아닌가요?? 아..근데 계산해보니까 k는 3/4보다 크거나 같다가 나오네요.

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