포만한 cafe에 올라온 질문에 답변을 했는데 다소 아쉬운 점이 있어 다시 에세이로 올려 수험생분들께 작은 도움을 드리고자 합니다.

problem :) 2011년 9월 평가원

이 문제의 발문을 보면 중요한 단서들이 몇가지 제시되어 있습니다.

1. 평면위에 점 A가 있다.
2. 평면으로 부터 거리가 각각 1,3인 두 점 B, C가 있다.
3. 선분 AC를 1:2로 내분하는 점이 P이다.
4. 선분 BP의 길이는 4이다.
5. 삼각형 ABC의 넓이는 9이다.
6. 삼각형 ABC의 평면α에 대한 정사영의 넓이는 S이다.

이 문제의 풀이의 방향은 크게 3가지로 나뉩니다.

1. 삼수선의 정리(공간도형)
2. 벡터
3. 방향코사인

먼저, 1번의 풀이는 이 문제를 풀어본 학생이라면 잘 알고 있는 풀이로 수선의 발을 내려 이면각을 구하는 방법을 이용한 풀이입니다. 위와 같은 풀이는 방향은 같지만 약간의 차이가 있는 풀이들이 있습니다.

sol 1-1) 삼수선의 정리를 이용한 풀이

(그림을 전보다 깔끔하게 만들려 했으나 저의 끈기와 능력의 한계(?)로 이 정도의 퀄리티인점 죄송합니다...)
점 B에서 평면 α에 내린 수선의 발 E에 대하여, BE=1 이고 점P는 선분 AC를 1:2로 내분한 점입니다. 그리고 CD=3 입니다. 따라서, 점 P에서 평면에 내린 수선의 발 F에 대하여 AF=1 이므로 BE와 AF는 평행하고 직선 BP는 평면 α에 평행합니다. (이 문제의 가장 중요한 열쇠입니다.)
이때, 길이비가 1:2이므로 삼각형 ABP의 넓이는 3이고 BP의 길이가 4 이므로 점 A에서 직선 BP에 내린 수선의발 H에 대하여 AH = 3/2 입니다. 그리고 H에서 평면 α에 내린 수선의 발 I에 대하여 HI=1 입니다. (∵ BP// α) 따라서, 평면 ABC와 평면 α가 이루는 각의 사인값은 2/3 이고 코사인값은 √5/3 입니다. 따라서, S^2 = 45 입니다.

sol 1-2) 나카렌님의 풀이 (출처 : 포만한 수리연구소, 본문 상단의 링크)
점 P가 선분 AC를 1:2로 내분한다는 것과 점 B, C와 평면 알파 사이의 거리가 각각 1, 3이라는 것을 이용하여 선분 BP가 평면 알파에 평행함을 알 수 있습니다.

이 때, 점 P가 선분 AC를 1:2로 내분한다는 것을 만족시키면서, 점 A를 선분 BP에 평행하고 평면 알파에 포함되는 직선을 따라 평행이동하여도 삼각형 ABC의 넓이, 삼각형 APB의 넓이, 삼각형 PBC의 넓이는 변하지 않고, 삼각형 ABC를 포함하는 평면과 평면 알파 사이의 각도 변하지 않습니다. 따라서, 문제를 풀기 가장 쉬운 경우인 선분 AC와 선분 BP가 평행하게 되도록 점 A를 평행이동할 수 있습니다.

이 때 선분 BP를 공통인 밑변으로 해석하면, 삼각형 APB의 넓이는 3, 삼각형 PBC의 넓이는 6임을 알 수 있고, 따라서 선분 AP의 길이는 1.5가 되지요.

그 다음에, 점 P를 평면 알파에 정사영한 것을 점 P'이라고 하면, 선분 BP와 평면 알파가 평행하다는 것에서 선분 PP'의 길이가 1임을 얻습니다. 그런데 각 PAP'가 삼각형 ABC를 포함하는 평면과 평면 알파의 이면각이므로, 이면각을 Θ라고 하면 sinΘ가 2/3임을 바로 알 수 있습니다.(선분 PP'와 평면 알파는 수직이므로) 이에서 cosΘ도 알 수 있고, S는 9*cosΘ이므로 S^2도 구할 수 있습니다.

sol 1-3) 수리호구농쓰님의 풀이 (출처 : 포만한 수리연구소, 본문 상단의 링크)

sol 1-4) 삼수선의 정리를 이용한 풀이 4

반직선 BC와 평면 α가 만나는 점을 D라고 할 때, 삼각형 ACD의 넓이가 삼각형 ABC의 넓이의 3/2라는 것을 이용하여 삼각형 ACD의 높이를 구할 수 있고 이를 이용하여 이면각의 크기를 구한 후 다시 정사영을 하면 됩니다. (과정은 sol 1,2,3과 비슷합니다.)

위의 네가지 모두 공간도형을 이용한 풀이로 내용은 조금씩 다르지만 방향은 같습니다. 내용이 다른 이유는 '어떤 삼각형을 등적변환 했나'는 점입니다. 모두 공간도형을 이용한 풀이입니다. 물론 제가 제시한 풀이는 거의 모두 등적변환을 이용합니다.

cf) 등적변환이란? 말그대로 '도형의 넓이를 유지하면서 도형의 모양을 바꾸는 변환'을 말합니다. 회전변환은 대표적인 등적변환입니다.

sol 2) 벡터를 이용한 풀이 (고교과정 외, 대학과정)
(대학과정의 내용을 이용한 풀이이니 시험장에서 벡터로 푸시려했던 분들은  '아, 내가 시도하려던 풀이가 이런 풀이였구나'만 아시면 됩니다...
더 쉬운 풀이가 있는지는 댓글달아주세요...)

위의 그림과 같이 벡터 a,b,c,d,h를 정의합니다. (구체적인 정의와 벡터의 화살표 기호는 편의상 생략하겠습니다.)

위의 삼각형에서 알 수 있는 조건을 이용하여 밑의 세가지 식을 이끌어낼 수 있습니다.

1.                              (삼각형 ABC의 평면에 대한 정사영의 넓이)
2.     (삼각형 ABP에 대한 제2 코사인 법칙)
3.          (삼각형 ABC의 넓이)

2,3번식을 다시 정리하면 다음과 같은 식이 됩니다.

문제는 1번식인데.... 이 풀이의 마지막 단계는 "모든 식을 연립하여 계산"하는 것입니다.
그렇게 하기위해선 위의 외적(outer product, 내적은 inner product)을 쉽게 연립가능한 형태로 바꾸어주어야 합니다.

일단, h라는 벡터는 평면의 단위 법선벡터 입니다.
(이 본문에서 평면α를 평면이라 얘기한 이유는 지금까지의 풀이는 평면을 1개만 언급했기 때문입니다.)

벡터 c,d는 평면 위에 있고 따라서, c,d의 외적을 그 크기로 나눈 벡터가 h입니다.

이를 1번식에 대입하는데, 한가지 공식이 필요합니다. 모른다고해도 수능 만점을 받는데는 지장이 없지만 이 풀이에는 꼭 필요해서 끌어옵니다.

라그랑즈 공식 :

cf) 계산할때는 우측의 c,d와 a,b,h에 대한 내적에 관한 식을 이용합니다.
이를 1번식에 적용해서 정리하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

우변에 낯익은 식들이 보이시나요? 그렇습니다. 위에서 보았던 식들입니다.
이제 연립하여 답을 구하고 풀이를 마무리합니다.

벡터로 푸는 풀이는 여기가 끝입니다. '아~ 이런 개념과 풀이도 있구나. 여러가지로 접근이 가능하구나...'만 이해하셔도 제가 드리는 관점을 어느정도 잘 전달했다고 생각합니다.

그렇지만 벡터의 이야기는 여기가 끝이 아닙니다. 지금과 같은 상황을 충분히 일반화가 가능하기 때문입니다.
그 이유는, 명석한 두뇌를 가지신 오르비언님들은 눈치채셨을지 모르지만, 연립하는 과정이 너무 쉽다는 것입니다.
마치 흩어져있는 블록을 모아 정리해서 끼워 맞추기를 하는 느낌입니다.
(물론, '쉽다(?)'고하는 것의 의미는 개인별로 차이가 있을 수 있습니다.)

extension) 벡터를 이용한 일반화
여기서는 고교과정 외의 내용을 끌어다 오기 때문에 결론만 제시하겠습니다... (외적을 아시는 분은 직접 해보셔도 좋습니다. 외적을 직접 계산하지 않기때문에...)

점 B,C와 평면사이의 거리를 각각 p,q로, 선분 BP의 길이를 l로 바꿉니다. (단, p>q입니다.)
삼각형 ABC의 넓이를 S_0라고 하고 모두 계산하시면 다음과 같은 식을 얻습니다.

일반화된 식 :

우리는 벡터를 이용하여 조금 다른 관점에서 풀어보고 단서를 얻어 일반화된 식을 이끌어냈습니다. (물론, 삼수선의 정리를 이용해서 일반화를 이끌어낼도 수 있습니다.) 여기서 3번째 풀이를 얻어낼 한가지 단서가 또 있습니다.

만약, 좌변과 우변 모두 '넓이'를 의미한다면 식은 더 깔끔해지죠. 여기서 풀이 3을 얻어냅니다.

sol 3) 방향코사인을 이용한 풀이(고교과정 외)

새로운 평면 β를 직선 BP와 직선 CD에 평행한 면으로 정의합니다. 그리고 평면 α,β의 단위 법선벡터를 e_1, e_2라고 하고 평면 ABC의
법선벡터를 h로 정의합니다. (단, h의 크기는 삼각형 ABC의 넓이와 같습니다.) 즉, h는 '삼각형 ABC의 넓이와 방향을 나타내는 벡터'이죠.

이때, 평면 α,β는 서로 수직이므로 법선벡터 e_1, e_2는 서로 수직인 단위벡터입니다. 그리고 벡터h와 e_1, e_2 는 시점이 같게하면 한 평면위에 놓이게 됩니다. 이때, 평면 α, β에 대한 삼각형 ABC의 정사영의 넓이를 각각 S와 S_1이라고 하면, 평면 α,β와 삼각형 ABC가 이루는 예각의 크기가 벡터 e_1, e_2와 h가 이루는 각의 크기와 각각 같기 때문에 다음과 같은 식이 성립합니다.

그리고 위에 일반화된 식에 있는 pl/2는 평면 β에 대한 넓이가 됩니다.
(그림 : 평면 β에 대한 삼각형 ABC의 정사영 그리고 등적변환)

따라서, 최종 결론은 다음과 같습니다.

가 성립하고 따라서, 이므로 S_0 = 9와 p=3, l=4 에서 이끌어낸 S_1 = 6을 대입하면
원하는 답을 얻어 풀이를 마무리합니다.

이제 제가 아는 솔루션은 모두 제시해드렸습니다. 여기서 얻어가실것은 새로 알게된 개념이나 계산법이 아닙니다. 한 문제에 대해서 꾸준히 고민하시고 다른 접근법은 없었는지 연구해야 된다는 것 그리고 시험장에서 한가지 관점만 고수해서는 안된다는 것입니다.

"모든 기하문제는 '벡터'로 풀 수 있을 것입니다. 다만 그 풀이가 시험장에서 효율적일지는 보장할 수 없습니다." (by 나카렌님)
물론, "어느 방향으로 접근해야 가장 효율적인 풀이가 나올 것인가?"를 캐치하는 것도 수학 실력이라면 실력이겠죠.
(이게 흔히 말하는 '수학의 감'일지도...)

실전에서 공간도형을 항상 벡터로 접근하는 것은 위험합니다. 하지만, 연습할 때 본인의 힘으로 여러가지 방법을 생각해보고 발상을 떠올리는 연습은 그 자체로 수학능력을 신장시키는데 도움을 줍니다.

연습을 실전처럼, 실전은 연습처럼 공부하세요. 좋은 결과 있기를 기대합니다.

(의견을 미리 묻지 않고 인용을 한 것에서 나카렌님, 수리호구농쓰님께 심심한 사과의 말을 전합니다.)

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주디s · 318296 · 12/02/06 18:41 · MS 2009

문과사람인 저에겐 신세계.....

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포크커틀릿 · 391386 · 12/02/06 18:43 · MS 2011

에궁... 수리 가형이란 말을 못붙였네요. 죄송합니다...

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만년필 · 388394 · 12/02/06 19:23 · MS 2011

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