깐석원 돌림힘특강2(분산법)(삭제방지용 개인자료)

이번엔 무엇을 가르쳐주실건가요?

오늘은 한번 돌림힘에 대해 배워볼거다.

아니 돌림힘 저번에 엄청난 장문의 글로 배우지 않았습니까?

또 "그 유형"에 대해서 공부를 해야 하는건가요?

가! 아니라 이번에는 저번에 간략하게 배웠던 "분산법"에 대해서 조금 더 자세히 배워볼거다 이말이징. 

저번에 그 질량이 분배된다느니 뭐니 그내용 말씀이시죠?

그럼 그거에 대해 한번 자세히 설명부탁드립니다.

내가 문제를 내보겠다.

만약 너가 체중계 2개에 양발을 놓으면 체중계에서는 무엇이 측정될까?

그야 제 몸무게가 반씩 측정되지 않겠습니까?

과연? 그러면 너가 오른쪽 발에 무게를 쏟든 말든 똑같이 측정될까?

그야 오른발에 체중을 실으면 오른쪽 체중계에서 더 크게 측정이 되겠지요.

그래!

그렇다면 너의 몸무게가 양쪽에 쏠리는것처럼

"이 공의 무게"도 두 받침대에 분할되지 않겠느냐 이 말이지.

도대체 저 공의 무게는 두 받침대에 어떻게 분할되는지 구해볼까?

그거야 돌림힘 평형식을 이용하면 쉽게 구할 수 있죠.

일단 두 지점까지의 거리를 a, b라 하고

이 때 두 지점에서의 수직항력을 A, B라 하고 공의 아랫지점에서 평형식을 세워주면?

aA=bB이므로 a:b=B:A가 됩니다.

그렇다면 그 "식"의 의미는 무엇이지?

A:B=b:a니까 수직항력의 비는 물체로부터의 거리 반대비와 일치합니다.

뭐뭐뭐라고? "그것뿐인가?"

너가 체중계에 올라가면 어떻게 된다 했지?

그야 제 몸무게가 양쪽으로 나눠지게 되죠!

맞아! 즉!

A+B=mg라는 말이징.

따라서 A+B=mg이고 A:B=b:a이니 이걸 한글로 번역하면?

공의 무게가 양 받침대에 거리 반대비로 분산된다!

Radun's 정리 1

두 받침대 내부에 있는 물체의 무게는

거리 반대비로 받침대에 분산된다.

그런데 수직항력은 왜구하려고 하는거에요?

우리가 궁금한건 돌림힘 아니에요?

이 내용을 조금 더 자세히 파고들면 우리는 돌림힘 문제를 새롭게, 깔끔하게 풀 수 있단말이징.

만약 저 공이 점점 오른쪽으로 가서 평형이 깨진다면 

평형이 깨지는 순간 두 받침대에서의 수직항력이 어떻게 되겠는가?

그야 오른쪽으로 점점 가면 오른쪽 받침대를 기준으로 회전할테니

왼쪽 받침대는 수직항력이 0이 되고 오른쪽 받침대는 막대와 물체의 무게가 되겠지요!

그렇다. 즉, 우리는 수직항력을 조건에 맞게 해석한 뒤에

수직항력을 구하고자 하면 문제를 해결할 수 있다 이말이징.

만약, 수직항력이 같은 순간을 구하라고 하면?

모든 물체에 의한 수직항력 변화를 싹 더하면 된다.

그래서 제가 방금 두 받침대 사이에 있는 물체의 수직향력을 구하는 방법을 배운거군요.

그럼 저 이제 이거로 문제풀 수 있나요?

아직 그정도 로는 모자르다.

이제 슬슬 자세히 배워볼거야.

두 받침대 사이에 있는 5kg짜리 물체로부터 두 받침대 까지의 거리비가 2:3이면

수직항력은 얼만큼씩 변하겠니?

5를 3:2로 나누면 3kg 2kg!

그렇다면 8kg, 거리비는 1:3이면?

6kg 2kg 암산으로 뚝딱!

띠용? 그렇다면 질량이 137kg이고 거리비가 11:23이면?

네? 그걸 어떻게 구해요. 방정식 풀어야 하잖아요.

맞아! 하지만 실전에서 이런거 방정식 풀면 느려 터진다 이말이징.

즉, 우리는 실전에서 이 값을 바로 바로 구하는 방법과 실전적인 표기 방법에 대해 알아야 한다.

그 표기 방법을 우리는 영향력이라고 말하도록 하자.

* 영향력이라는 단어는 공식적인 단어가 아닌 제가 임의로 정의한 단어니

이 단어를 타 학교 주관식 시험에서 사용하지 마시기 바랍니다.

이 두받침대에서의 수직항력은?

거리비가 a:b이므로 (bmg/(a+b), amg/(a+b))가 된단다.

즉, 이렇게 두 지점에 대한 수직항력의 변화를 (A,B)꼴로 나타낼거야.

여기서 이 (A,B)를 두 지점에 대한 mg의 영향력 이라고 표현하자.

그러니까 저걸 외우면 뚝딱 구할 수 있다는건가요?

그게 아니다.

지금부터 내가 말하는 순서대로 차근차근 따라하면

언제든지 두 지점에 대한 수직항력을 뚝딱! 구할 수 있단말이지.

뺴애애애액 어서 알려주세요.

그 방법으로 137kg이고 거리비가 11:23에 대한 영향력을 구하는 모습도 보여주세요.

1단계!

일단 거리 반대비로 영향력을 표기해준다.

거리비가 a:b면??

(b,a) 맞죠?

2단계!

두 숫자의 합으로 나눠 영향력의 합을 1로 만들어준다!!

지금 너가 쓴 영향력은 (b,a)니까 그 합은 a+b가 되는거지.

그럼 (b,a)를 a+b로 나눠주면?

(b, a)/a+b가 되겠군요?

마지막 3단게! 그 값에 무게, 또는 힘을 곱해 합을 무게 또는 힘의 크기로 맞춰준다.

즉?

즉? mg를 곱해주면?

(b,a)mg/(a+b)이므로

( bmg/(a+b) , amg/(a+b) )

선생님이 말씀하신거랑 똑같은 값이 나오네요?

그럼 아까 내가 낸 문제도 구해보겠니?

질량이 137kg이고 거리비가 11:23이면? 띠요옹?

거리비가 11:23이니까 (23,11)이라 쓰고?

23과 11의 합인 34로 나눠주면 (23,11)/34고?

137을 곱해주면 (23,11)137/34가 되겠네요!

ㅅㅌㅊ

이렇게 두 지점 "사이"에 있는 물체 또는 힘의 영향력을 구하는 방식을

우리는 내분법 이라고 부를거야.

내분법? 내부에 있어서 내분법이면 외분법도 있겠네요?

그렇다! 하지만, 외분법을 제대로 학습하지 않아서 헷갈려 하는 친구들이 매우 많단 말이징.

즉, 외분법은 조금 더 집중하도록 하자.

이번엔 두 받침대 외부에 있는 물체의 영향력이 어떻게 되나 구해보자.

일단 두 받침대에서의 수직항력을 구해보겠니?

왼쪽 받침대를 기준으로 평형식을 세우고

오른쪽 받침대의 수직항력을 F라고 두면

bkg*a = akg*b + bF

F=0이 됩니다.

즉, 왼쪽 받침대의 수직항력은 (ak+bk)g, 오른쪽은 0이 되네요.

그럼 ak와 bk의 영향력의 합은 (ak+bk, 0)이라 쓸 수 있겠구나.

그럼 bk의 영향력이 어떻게 되지?

ak는 거리비가 b:0이니까 영향력은 0:b로 오른쪽에 몰빵될테니 (0, ak)

그럼.... bk의 영향력은 (ak+bk, -ak)가 되는데 음수가 왜나오죠?

이거 제가 잘못구한거죠?

kiaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

그게 바로 외분법과 내분법의 가장 큰 특징이지.

음수가 무엇을 의미할까?

수직항력이 줄어든다??

그렇다.

즉, 물체가 두 받침대의 외부에 있으면

가까운쪽은 양수, 먼쪽은 음수의 영향력을 가지게 되지.

그럼 왼쪽 받침대보다 왼쪽이면 부호가 (+,-)가 되고

오른쪽받침대보다 오른쪽이면 부호가 (-,+)가 되는거군요?

하, 넌 예전에 가르친 개구리보다 너무 잘해!

???????????????????????

자 그러면 외분법의 특징을 알아보자.

(ak+bk, -ak)=k(a+b,-a)

영향력의 비율이 a+b : -a인데

여기에 절댓값을 씌우면 a+b:a가 된다는것을 알 수 있지.

이 a+b:a가 뭘까?

왼쪽, 오른쪽 받침대 까지의 거리비!

즉!

영향력의 절댓값 반대비가 바로 거리비 가 되고

어느 한쪽이 음수 이면서

그 합은 무게 또는 힘이 나온다.

계산이 너무 헷갈려요!

엌ㅋㅋㅋㅋㅋ

그럴 줄 알았다. 즉! 이번에도 차근차근 따라해보도록하자.

무게가 7!

왼쪽, 오른쪽 받침대 까지의 거리비는  2:5 이면 어떻게 구하느냐!

1단계!

일단 거리 반대비로 영향력을 표기해준다.

그럼 (5,2)인데!

한쪽이 음수니까!

(5, -2)라고 써요!

2단계!

두 숫자의 합으로 나눠 영향력의 합을 1로 만들어준다!!

지금은 (5, -2)니까 3으로 나눠주면 (5, -2)/3이 된다.

마지막 3단게! 그 값에 무게, 또는 힘을 곱해 합을 무게 또는 힘의 크기로 맞춰준다.

즉? 

(5, -2)/3 에 7을 곱해주면?

(35, -14)/3 이 됩니다.!

완벽하게 구했다.

오른쪽 받침대보다 오른쪽에 있으면 -를 왼쪽에 붙여주면 된단다.

여기까지 다 이해했습니다.

그러면 이거로 문제를 풀 수 있나요?

그부분에 대해서는 앞서 다뤘던 내용들을 익힌 다음

다음 수업 때 진행하도록 하자.

내용 정리.

두 지점에 대한 수직항력 또는 장력의 변화를 (A,B)로 나타내며 이를 영향력이라 한다.

두 받침점 사이에 있는 물체의 영향력을 구하는 방식을 내분법이라 하며 그 반대는 외분법이라 한다.

내분법의 특징 

1) 부호가 (+,+)이다.

2) 영향력의 반대비가 곧 거리비이다.

외분법의 특징

1) 부호가 (+,-) 또는 (-,+)이다.

2) 영향력의 절대값 반대비가 곧 거리비이다.

2편 - 문제 조건의 영향력적 해석  에서 계속

에 여러분 안녕하십니깐석원입니다.

에... 우리는! 저번 시간에 두 지점 사이에 있는 물체에 의한 영향력을 구하는 내분법

그리고 외부에 있는 불체의 영향력을 구하는 외분법에 대해 배웠으니

오늘은! 문제 조건을 영향력으로 표현할 줄 알아야 한다 이말이징. 됐죵?

대표적인 문제를 하나 보자.

15수능 20번 - x의 최댓값을 구하여라.

이거 맨 오른쪽 받침대를 기준으로 회전할 때니까 오른쪽 점 기준으로 평형식 세우면 됩니다.

그게아니다. 우리는 수직항력을 구해서 문제를 풀것이다.

근데 저번에 영향력 구할 때는 받침대 두개일 때 알려주셨는데

여긴 받침대가 없지 않습니까?

"그렇다. 즉! 너가 임의로 받침대 두개를 찾아야 한다 이말이징.

즉, 막대를 억지로 시계, 반시계방향으로 회전시키려 한다면

이렇게 두개의 빨간점에 대해 회전이 가능하기 때문에

저 두점에 받침대가 있다고 가정하고 영향력을 구하면 된단 말이징.

그렇다면 x가 최대일 때 전체 영향력 조건이 어떻게 될까?

왼쪽 받침대와는 만나지 않을테니 왼쪽 영향력은 0!

그럼 오른쪽은?

전체 질량이 7m이니까 7m! 따라서 전체 영향력은 (0, 7m)입니다.

자 그럼 B와 C의 영향력을 먼저 구해보도록 하자.

C는 중점에 있으므로 (0.5m, 0.5m)이고

B는 오른쪽 외부에 있고 거리비가 3:1이므로

거리 반대비로 나타내면 (1,3)

마이너스를 붙여주면 (-1, 3)

합을 4m으로 마줘주면 (-2m, 6m)이 된다.

그럼 B와 C의 합이 (-1.5m, 6.5m) 이므로 A의 영향력은?

전체 영향력이 (0, 7m)이니까

A의 왼쪽 영향력은 1.5m, 오른쪽은 0.5m이니 (1.5m,0.5m)이네요.

그런데 이걸 왜구하죠?

내부 물체의 부호는 (+,+)

외부물체의 부호는 왼쪽일 때 (+, -) 오른쪽은 (-,+)!

그리고 절댓값 반대비가 곧 거리비다 이말이지.

즉! 우리는 물체의 영향력을 알면 그놈의 위치도 알 수 있다. 그죵?

그렇다면 (1.5m, 0.5m)인 물체의 위치는 두 받침대 내부란걸 알 수 있고

두 받침대 까지의 거리비는 1:3이므로 1:3 내분점에 있다는것을 알 수 있지.

즉! 우리는 영향력을 알면 물체의 위치도 알 수 있단다.

그럼 맨 왼쪽 지점으로부터 1.25d 떨어져있고 그 값이 0.5d+x이므로

x=0.75d가 되겠네요!

근데 영향력 절대값 반대비가 또 괴랄하게 나와서

정확한 위치를 알기 어려우면 어떻게 하죠??

받침대 사이 거리가 137이고 거리비가 3:11이면요?

맞아!

실전에서 그런 내분점이나 외분점을 계싼하기 어려울 수 있기 때문에 또다시 차근차근 거리를 구하는법을 알아보자.

1단계.

영향력의 절대값 반대비를 거리라고 둔다.

받침대 사이 거리가 137이고 내부 물체로부터 받침대 까지의 거리비가 3:11이면???

일단 거리를 3이랑 11이라고 써!

2단계 내부 물체로부터 두 지점 까지의 거리를 3과 11이라 뒀단 말이징.

그럼 합이 일단 1로 나오게끔 3과 11의 합인 14로 나눠!

그럼 거리는 3/14, 11/14가 되겠죵?

3단계!

지금 거리 합을 1로 맞춰줬으니 원래 거리 합인 137이 나오게 해야한다...

따라서 137을 곱해주면 3*137/14, 11*137/14이 실제 거리가 된다. 됐쭁?

이건 내부 물체의 거리를 구하느건데 외부 물체의 거리를 구하려면 어떻게 해야하나요?

좀전에 내가 합을 맞춰준 이유는 내부 물체로부터 두 지점까지의 거리 합이 두 지점 사이의 거리기 때문이다.

하지만 외부 물체로부터 두 지점까지의 거리 "차"는 두 지점 사이의 거리가 된다. 따라서?

그럼 그때는 합이 아닌 차를 1로 맞춰준다음 원래 거리 차로 맞춰주면 되겠군요!

정답! 한번 대표적인 예시를 보도록 하자.

2016수능 20번 x의 최솟값을 구하여라.

전체 질량이 20이니까 전체 영향력은 (20,0)!

9m = (4.5, 4.5)

막대= (4, -3)

6m= (-30, 36)

합 = (-21.5, 37.5)

따라서 4m = (21.5, -17.5)

그럼 거리비가 17.5: 21.5네요!

그럼 단계별로 두 받침대 까지의 거리를 구해보겠니?

17.5: 21.5니까?

지금은 숫자의 차가 4니까 4로 나누면 17.5/4, 21.5/4

그런데 실제 거리 차는 L이니까 L을 곱하면 17.5L/4, 21.5L/4

따라서 x의 최솟값은 12L에서 17.5L/4를 빼준 30.5L/4가 됩니다.

한가지 계산 과정에서의 팁이 있다면

합 = (-21.5, 37.5)

따라서 4m = (21.5, -17.5)

이 과정에서 4m=(21.5,     )

까지 구했다면? 영향력의 합은 무게이므로 오른쪽값은 -17.5라고 쉽게 구할 수도 있다.

그런데 질문 있어요.

저희는 전체 영향력 조건으로 A를 구했는데

맨처음부터 A의 영향력을 x에 대해 나타낼 수는 없나요?

x값에 따라 외부에 있을 수도 있고 내부에 있을 수도 있는데

그럼 넌 내분법을 쓸거니 외분법을 쓸거니? 답을 구하기 전까진 정할수 없다

생각해보니 그러네요!

가 아니라! 너가 외분법을 쓰든 말든 상관이 없다.

띠용??? 아니 선생님 그게 무슨 말씀이십니까? 외부에 있는지 내부에 있는지도 모르는데

맘대로 외분법 내분법 다쓴다뇨?

결론을 말하자면 너가 외부에 있다 가정하고 외분법을 쓰건

내부에 있다 가정하고 내분법을 쓰건 영향력이 모두 같게 나온단 말이징.

한번 A의 왼쪽으로부터의 거리 x+0.5d 가 d보다 작다고 가정하고 외분법을 써보자.

그럼 왼쪽 받침대 까지의 거리는 0.5-x, 오른쪽 받침대 까지의 거리는 1.5-x가 된다.

(편의상 d생략)

그러면 (1.5-x, -0.5+x)

합을 2로 맞춰주면 (3-2x, -1+2x)가 된다는걸 알 수 있징.

이번엔 x+0.5d가 두 지점 사이라 하면?

두 받침대 까지의 거리는 왼쪽이 x-0.5, 오른쪽이 1.5-x이므로 내분법을 써주면?

(1.5-x, x-0.5)2= (3-2x, 2x-1)이 된다...

띵띠링 띠용??? 똑같이 (3-2x, 2x-1)이 나오네요?

그럼 어떻게 해요?

분명! 저 물체는 외부 또는 내부에 있어.

하지만 우리의 가정과는 관계없이 같은 x에 대한 영향력이 나왔으니

전체 영향력 조건으로 답을 구해봐!

C는 중점에 있으므로 (0.5, 0.5)이고

합을 4m으로 마줘주면 (-2, 6)이 된다.

A는 (3-2x, 2x-1)... 왼쪽 합이 0이 나와야 하니까

-1.5+3-2x=0, x=.....0.75 띠요옹?? 답이 나오네요??

그런데 실제로는 내부에 있다는 결과가 나오는데

외분법을 썼으면 어떻게 해요?

이렇게 답을 구하기 전까지는 외부에 있을지 내부에 있을지 몰라!

그런데... 너가 외부에 있다 두고 외분법을 쓰건 내부에 있다 가정하고 내분법을 쓰건 상관은 없다.

단! 너가 영향력을 구하고 나서는 반드시 영향력을 통해 내부에 있는지 외부에 있는지 나중에 단을 해줘야한다.

아아 그러니까 거리 미지수에 대해 영향력을 나타내보고 싶으면

그냥 외분법이 편하면 외분법, 내분법이 편하면 내분법을 쓰면 되겠네요!

정답!

너가 거리로 영향력을 나타내서 답을 구해도 되고!

아니면 다른 놈들 영향력을 전체 영향력에서 뺴줘서 구해도 되고

그건 너의 취향에 따라서 하면 된다.

그런데 힘이 윗방향으로 작용할 때 그 힘의 영향력은 어떻게 구해요??

뭐뭐뭉뭥 뭐라고? 힘이 위로 작용해???

그에 대한 해답을 제시해주면 다음과 같다.

질문을 하나 해보겠다.

막대의 동일한 지점을 아랫방향으로 F로 누르면서

동일한 지점을 윗방향으로 F로 밀면 어떻게 될까?

서로 상쇄가 되니 알짜힘이 0이 되죠!

그럼 두 힘의 영향력 합이 어떻게 되겠니?

(0, 0)????

맞아!

즉! 위 그림은 아랫방향으로 주는 힘의 영향력이야.

따라서 윗방향으로 주는 힘의 영향력은 -를 곱해줘서 부호가 (-,+) (-,-) (+,-)가 된단다.

만약 누 받침대 사이에서 윗방향으로 힘 F가 작용하면?

그 힙의 영향력은 (-,-)가 되고 그 합은 -F가 되겠죵?

그럼 그냥 마지막에 마이너스만 붙여주면 되는일이네요!

그런데 받침대 3개 이상이여도 쓸 수 있나요???

지금 까지 배운 모든 내용은 받침대가 다 2개뿐이에요

예리한 질문이군.

구하는 방법을 알려주지.

는! 나도 모른다.

아니 선생님이 모르시면 어떻게 합니까?

가! 아니라 받침대가 2개를 넘어가면 추가적인 문제 조건이 주어지고 그 조건을 이용하면 된다 이말이징.

예를 들어보겠다.

네 기둥에서의 수직항력이 모두 같을 때 x를 구하자!

띠용? 받침대가 4개??? 일단 아랫방향으로 주는 힘이 총 8mg이면 수직항력이 2mg일텐데

그럼 (  ,   ,   ,   )꼴로 구해서 다 더하면 (2m,2m,2m,2m)이라고 해야 하나?

가! 아니다!

그럼 어떻게합니까? 받침대가 4개잖아요?

바로! 그 수직항력의 영향력을 구하면 된단 말이지.

가운데 두 기둥에서의 수직항력 의 맨 양쪽 받침대에 대한 영향력을 구해주면 된다.

즉! 너가 임의 로 받침대를 2개만 남기는 대신!

지워준 받침대에서의 수직항력 의! 영향력을 남은 두 받침대에 대해 구해줘야한다...

그러니까 받침대가 2개가 넘어가버리면?

2개만 남기는 대신 지워준 받침대에서의 힘의 영향력을 구해야 한다는거죠?

그렇다! 그래서 방금 윗방향으로의 힘의 영향력을 구하는 방법을 먼저 배웠던거징.

그럼 한번 구해볼까용?

양쪽 받침대에 대한 전체 영향력 = (2,2) (m생략)

왼쪽 3m = (2.25, 0.75)

오른쪽 3m= (0,3)

2m = (1,1)

오른쪽으로부터 0.5L에 위치한 수직항력 = (-0.5, -1.5)

이들의 왼쪽 영향력 합은 0.5이므로

왼쪽으로부터 x만큼 떨어진 수직항력 = (-0.75, -1.25)

따라서! 거리비는 영향력의 반대비인 5:3이란걸 알 수가 있징.

뭐뭠뭐 뭐라공??? 거리비가 5:3??

그럼 일단 두 받침대까지의 거리를 5, 3이라 쓰고?

그 둘의 합인 8로 나눠준다음 실제 거리 합 2를 곱해주면?

5/4, 3/4가 되므로 x=5L/4가 된다.

사랑합니다. 깐석원선생님 이제 물2만점가즈아~