5차다항식을 미분하면 4차다항식인데 (x-1)^2과 (x+1)^2을 인수로 가지고 있으니 그뿐이죠.

p(x)=(x-1)^3+8=(x+1)^3-8 로 두고 양변 미분을 합니다 그러면 p'(x)=3(x-1)^2=3(x+1)^2 이 됩니다. 근데 p(x)는 5차 다항식이므로 이를 미분한 p'(x)는 4차 다항식이 됩니다. 따라서 p'(x)는 (x-1)^2(x+1)^2를 인수로 가지게 됩니다. p'(x)=a(x-1)^2(x+1)^2로 놓고 부정적분을 하면 p(x)=a/5x^5-ax+C가 나옵니다. 여기서 나머지 정리에 의해 p(1)=8, p(-1)=-8이니까 대입해서 a,c구하시면 됩니다 아래 문제 보시고 오신거 같은데 제가 썼던 답변입니다

f(a)=0이면 f(x)가 x-a로 나누어떨어지죠 f(a)=f'(a)=0이면 f(x)가 (x-a)^2로 나누어떨어져요 f(x)대신 P'(x)로 생각하세요 P'(1)=P''(1)=0이니까 P'(x)가 (x-1)^2으로 나누어떨어지죠 그러면 P'(x)가 (x-1)^2과 (x+1)^2을 인수로 가지는데 P'(x)는 4차다항식이니까요...

p'(1)=p''(1)=0 이면 4차다항식 p'(x)는 반드시 (x-1)^2을 인수로 가져야 하죠 마찬가지로 p'(-1)=p''(-1)=0 이면 반드시 (x+1)^2 을 인수로 가져야 합니다. 그러므로 p(x)=(x-1)^2(x+1)^2q(x) 꼴로 표현할 수 있는데 q(x)가 0차 이므로 상수 a로 놓아버린거죠.. 그래서 3번이 도출됩니다.

요새.다시공부하시나요 ㅋ 제기억으로 사관or경대예전기출같네요 ㅎ

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카피바라 [283063] · MS 2009 · 쪽지

2012-01-13 19:39:17
조회수 731
0

미분 문제.. (2)에서 (3)로 넘어가는 과정이 이해가 안되요

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만족 · 374458 · 12/01/13 19:40

5차다항식을 미분하면 4차다항식인데

(x-1)^2과 (x+1)^2을 인수로 가지고 있으니

그뿐이죠.

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만족 · 374458 · 12/01/13 19:42

p(x)=(x-1)^3+8=(x+1)^3-8 로 두고
양변 미분을 합니다
그러면 p'(x)=3(x-1)^2=3(x+1)^2 이 됩니다.
근데 p(x)는 5차 다항식이므로 이를 미분한 p'(x)는 4차 다항식이 됩니다.
따라서 p'(x)는 (x-1)^2(x+1)^2를 인수로 가지게 됩니다.
p'(x)=a(x-1)^2(x+1)^2로 놓고 부정적분을 하면
p(x)=a/5x^5-ax+C가 나옵니다.
여기서 나머지 정리에 의해
p(1)=8, p(-1)=-8이니까 대입해서 a,c구하시면 됩니다

아래 문제 보시고 오신거 같은데 제가 썼던 답변입니다

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카피바라 · 283063 · 12/01/13 19:52 · MS 2009

C=0, a=15 해서 답이 46 나오네요.. 제가 이해가 안됬던 부분은 미분한 P'(x)가 어떻게 (x-1)제곱과 (x+1)제곱을 인수로 가지는지였는데 이거 굉장히 기본적인 개념 맞죠? 예를 들면

6차 다항식 Q(x)를 (x-5)^4로 나누면 나머지가 7이고 (x+5)^4로 나누면 나머지가 -7이라고 할 때
Q(x)를 미분한 Q'(x)는 (x-5)^3과 (x+5)^3을 인수로 가지나요?

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만족 · 374458 · 12/01/13 19:59

제가 p(x)를 잘못구해드렸네요..
인수분해 다 까먹어서ㅠㅠ
p'(x)는 a(x^4-2x^2+1)이에요ㅠ

마지막 질문은 아닌것 같아요.
6차 다항식을 미분했으면 5차다항식이 되는데
(x-5)^3과 (x+5)^3을 인수로 가지면
6차다항식이 되어버리죠?
그럼 안되죠..

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카피바라 · 283063 · 12/01/13 20:01 · MS 2009

오홍 님 답변이랑 밑에분들 꺼랑 같이 보니까 이제 확실히 이해됨 ㅋㅋㅋ 감사감사

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만족 · 374458 · 12/01/13 20:03

네ㅋㅋ

식전개 실수했었는데 이해되셨다면 다행이네요ㅎㅎ

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스 · 387469 · 12/01/13 19:49

f(a)=0이면 f(x)가 x-a로 나누어떨어지죠
f(a)=f'(a)=0이면 f(x)가 (x-a)^2로 나누어떨어져요

f(x)대신 P'(x)로 생각하세요
P'(1)=P''(1)=0이니까 P'(x)가 (x-1)^2으로 나누어떨어지죠

그러면 P'(x)가 (x-1)^2과 (x+1)^2을 인수로 가지는데
P'(x)는 4차다항식이니까요...

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purereason · 391386 · 12/01/13 20:00 · MS 2011

p'(1)=p''(1)=0 이면

4차다항식 p'(x)는 반드시 (x-1)^2을 인수로 가져야 하죠

마찬가지로 p'(-1)=p''(-1)=0 이면 반드시 (x+1)^2 을 인수로 가져야 합니다.

그러므로 p(x)=(x-1)^2(x+1)^2q(x) 꼴로 표현할 수 있는데

q(x)가 0차 이므로 상수 a로 놓아버린거죠.. 그래서 3번이 도출됩니다.

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연응통13 · 367478 · 12/01/14 00:26

요새.다시공부하시나요 ㅋ

제기억으로 사관or경대예전기출같네요 ㅎ

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