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오일러의후손 [922210] · MS 2019 (수정됨) · 쪽지

2019-11-24 14:17:31
조회수 13,272

왜 넓이비는 닮음비의 제곱일까?

게시글 주소: https://orbi.kr/00025680330

'넓이비는 닮음비의 제곱이다.'

 위의 명제는 중학교에서 도형의 닮음에 대해 배웠다면 모두 한번쯤 들어봤을 것입니다. 삼각형, 원, 직사각형 등의 도형에서는 위의 사실을 쉽게 확인(즉, 증명)가능합니다. 그런데 아래의 그림과 같은 좀 더 일반적인 경우의 도형에 대해서 위의 명제가 어떻게 증명될 수 있는지에 대한 궁금증을 한번쯤은 가져봤을 것입니다.

 이 글에서는 위와 같은 일반적인 경우의 닮은 도형들에도 위의 명제가 성립한다는 것을 증명할 것입니다.


1. 극좌표와 극방정식으로 나타낸 도형
 직교좌표 (x, y)는 평면 위의 한 점을 x좌표와 y좌표로 나타냅니다.극좌표 (r, θ)는 평면 위의 한 점을 원점으로 부터 그점까지 선분을 그었을 때 그 선분의 길이(r)와 그 선분이 x축의 양의 방향과 이루는 각(θ)으로 나타냅니다. 다음 그림을 보면 이해가 쉬울 겁니다.

 직교좌표계에서 y=f(x)로 어떤 도형을 나타낼 수 있듯이 극좌표계에서 r=f(θ)로 어떤 도형을 나타낼 수 있습니다. 이때 r=f(θ)를 이 도형을 나타내는 극방정식이라 합니다. 닮음의 핵심적인 요소는 확대와 축소입니다. 도형을 한 점을 중심으로 하여 확대하거나 축소하려할 때, 극방정식을 이용해 도형을 나타낸다면 아주 편합니다. 극방정식의 함수에 상수값만 곱해주면 모든 θ에 대해 r이 그 상수배가 되어 도형을 확대나 축소한 것이 되기 때문입니다.

우리가 생각할 도형들은 모든 점에서 연속이고, 끊어진 점이 없어야 합니다. 따라서 후술할 모든 극방정식 r=f(θ)에 대해 다음이 성립한다고 가정합니다.
   (i) f : [0, 2π] → R
   (ii) f는 연속
   (iii)모든 θ에 대하여 f(θ)≠0
   (iv) f(0)=f(2π)

2. 닮음
 이제 극방정식으로 나타내어진 두 도형이 서로 닮음일 조건에 대해 살펴봅시다. 일단 닮음의 정의는 다음과 같습니다.
'한쪽의 도형을 축소하거나 확대하여 다른 한쪽의 도형과 완전히 겹칠 수 있을 때 '
축소하거나 확대하는 기준점을 원점으로 잡는다면 r=f(θ)와 r=g(θ)로 나타내어진 두 도형이 닮음일 조건은
'kf(θ)=g(θ)인 0이 아닌 실수 k가 존재한다'
가 됩니다. 이때 1:k가 닮음비가 됩니다.

3. 넓이
닮음비와 넓이비의 관계를 살펴보기 전에 먼저 극방정식으로 나타내어진 도형으로 둘러싸인 부분의 면적을 구하는 법에 대해 알아봅시다. 구분구적법을 배웠다면 이해가 쉬울 겁니다.
 다음의 도형으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구한다고 합시다.

 위 도형을 다음과 같이 θ=0부터 θ=2π까지를 n등분하면 다음 그림과 같습니다.


 여기서 k번째 조각만 떼어서 봅시다.  이런 하나하나의 조각들의 넓이는 각각 반지름의 길이가 f(θ_k)이고 중심각의 크기가 Δθ인 부채꼴의 넓이로 근삿값을 구할 수 있습니다. 실제 넓이와 부채꼴 넓이의 근삿값의 오차는 n이 커질수록 점점 작아지므로 도형으로 둘러싸인 넓이는 다음 극한으로 구할 수 있습니다.


 그런데 정적분의 극한을 이용한 정의에 따라 위 극한은 다음의 정적분과 같습니다.

 따라서 r=f(θ)로 나타내어진 도형으로 둘러싸인 부분의 넓이는 위 정적분값과 같습니다.


4. 증명
 이제 두 도형 r=f(θ)와 r=g(θ)가 닮음이고, 닮음비를 1:k라고 합시다. 그러면 kf(θ)=g(θ)가 성립하므로, 각각의 도형으로 둘러싸인 넓이를 구해보면 다음과 같습니다.

 위로부터 두 도형의 넓이비가 1:k^2임을 알 수 있고, 따라서 닮음비의 제곱이 넓이비라는 것이 증명되었습니다.




궁금한 점이나 지적할 부분이 있다면 댓글로 남겨주세요. 반응이 좋다면 미분을 이용한 닮음의 정의에 대한 내용으로 글을 또 써보겠습니다.

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