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스- [868667] · MS 2019 · 쪽지

2019-08-04 00:54:18
조회수 7,881

[기벡] 각도와 자취

게시글 주소: https://orbi.kr/00023965021

모두들 안녕.


똥글만 싸지르다 두달만에 칼럼으로 찾아뵙는다.


솔직히 이번 6평같은 트렌드면 무언가 빛나는 발상보단


구몬수학 누가 잘푸느냐가 중요한 상황이긴 하다


만,


각종N제와 생존(S)이나 살인기지(K)와 같은 고난도 모의고사에 지치신 여러분들을 위한


[사설 부수기] 에 관한 내용을 써볼까 해본다.


한 글에 너무 많은 주제를 다룰 수는 없기에,


이번엔 필자가 최근에 본 (문제를 봤다는 뜻입니다.) S모의고사 29번에 출제된 내용이기도 한


'각도'와 '자취'에 관한 내용을 다루어보겠다.


우선, '두 점'과 '일정한 각도'와 관련된 내용을 보도록 하자.


예제1)



기본문제이다.


답은 '선분 AB를 지름으로 하는 원'이 되겠다.


(엄밀하게는 점 A 와 B를 제외시켜야 함. 지름 양쪽에 구멍이 뽕 뚫린 모양새겠죠)



(참고 그림)


예제2)



숫자 2를 3으로 바꾼 변형문제. 이전 문제보다 어려운 감이 확 들 것이다.



모르시겠다면 밑으로 내려보자.















힌트를 먼저 제시하자면,




정답은













AB를 한 변으로 하는 정삼각형의 외접원의 일부이다.



두 빨간 호가 될 것이다. (A,B는 이번에도 제외해야 한다.)



증명은 한 원에서 동일한 현에 대한 원주각은 같다는 것을 이용.

 

이를 일반화하여,


예제3)



정답은


두 각 알파와 베타가 각각 2theta인 AB의 수직이등분선 위의 점을 중심으로 하는 원호의 일부이다.


(A와B는 제외시켜주어야 하며, 더 긴 쪽의 호를 선택하여야 한다. Theta가 둔각인 경우에는 더 짧은 호를 선택.)



음, 이로써 우리는 '두 정점’에 대해 ‘일정한 각도’의 정의가 붙은 점은

 

‘원’의 관점에서 생각해주면 편하겠다는 생각을 할 수 있다.

 

이를 3차원으로 확장하면,

 

세타가 둔각이나 예각이면 앞에서 구한 호의 회전 형태,

 

세타가 직각이면 구의 형태를 가짐은

 

평면에서의 자취를 회전시켜보면 알 수 있다.


사실 이건 몸풀기에 가깝고, (그렇다고 중요하지 않다는 것은 아니다. 원주각 관련 내용은 사설 모의에 종종 출제되는 내용임.)




여기서부터가 핵심적인 내용. (자주 출제가 된다는 뜻.)


이하의 내용은 공간도형의 범주에서 서술되었음.


예제4)


정답은 ‘A를 지나고 v에
수직인 평면’.



교과서적 개념을 묻는 문제이다.

 

그럼 문제를 변형하여,

 

예제4의 90도를 60도로 바꾸어 풀어보자.
















정답은



쌍원뿔이다.

 

여기서 벡터 AP의 크기를 일정한 수로 제한하면,

 

P는 v를 법선벡터로 하는
한 평면 위의 원이 된다.

(원은 A 위아래로 두 개 생김.)


원뿔의 형태는 어마어마한 장점이 있다.

 

바로 ‘대칭성’와 ‘일정함’ 인데,

 

이는 한 벡터에 대해 모든 방향으로 선대칭이며,

 

‘어떤 벡터와 이루는 각이 일정함’을
알기 때문이다.


참고로, 일정한 값(아는 값)과 변하는 값(모르는 값)을 구분하는 것은 수학/과학 문제해결에 상당히 중요한 부분을 차지한다.


이 원뿔과 각도 테마는 이를 단적으로 보여주는 좋은 예시.

 


관련 기출로,

 


 

이 문제가 있다. ‘어떤 벡터와 각이 일정한’ 모든 방향의 벡터를 보면 다른 벡터와 이루는 각의 최대, 최소를
쉽게 알 수 있게 된다. 

 

예를 들어, 이루는 각이 70도인 벡터 a와 b가 있고, 벡터 p가 벡터 a와 이루는 각이 30도인 것을 알면 b와 p가 이루는 각은 40도에서 100도 사이인 것을 알 수 있음.

 

하지만, 모든 수학 개념이 그렇듯이, 개념을 한 방향으로 적용하는 것은 고난도 문제 풀이에 도움이 되기가 힘들다.

 

그말인 즉슨, 우리는 ‘원뿔’ 혹은 ‘구와 평면의 교선’과 같은 내용을 보면 자연스레 ‘어떤 벡터와 이루는 각이 일정한’ 벡터의 종점의 집합을 생각해낼 수 있어야 한다는 것이다. (역발상)


관련 기출문제들은 다음 문제들이 있다.


아래 네 문항은 평가원, 사관학교 기출문항 중 '어떤 벡터'와 이루는 각도가 '어떤 값'으로 일정할 때의 상황을 묻는 문제이다.




 


(두번째 문항은 왜 원뿔문항인지 모르겠다면 엄밀하게 풀이를 작성해보시길.)

(세번째 문항은 각도가 일정한 것은 아니지만, 원뿔 테마가 사용된 것은 맞음.)

 

원뿔과 각의 차이를 이용한 문제들이 한두번 나오니까 사설모의에서 자꾸 내는 분위기이다.

 

어쨌든, 본인이 최근에 봤던 ‘그’ S모의 29번에 관한 내용을 보여드리자면,

 

시점을 통일시켜준 후에, 두 벡터가 어느 한 벡터와 이루는 각이 같으면 ‘같은 원뿔 상’에 있다는 것을 이용해주면 된다.

 

 

 

그림으로 표현하면 이렇다. 무한원뿔과 xy평면의 교선이 파랑 벡터와 초록 벡터의 종점이 된다. (이 부분은 문제될 시 삭제됩니다.)

 

이 주제는 어차피 이번 수능에 나오기 힘들다 ㅋㅅㅋ; 워낙 많이 출제되서


그래도 사제 문제에 나오는 것은 어쩔 수 없는게,

원뿔테마 한번만 넣으면 문제의 계산량과 난이도를 확! 하고 올리기 쉽기 때문에,

안내기도 힘든 실정이긴 함.


아무튼, 복잡해보이는 사제 기하 문항 중 이러한 원뿔테마로 꼬아버리는 경우가 많으니 참고해서 다들 문제 빨리빨리들 풀고 모의고사 100점을 노려보자.

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