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storm98 [673092] · MS 2019 · 쪽지

2019-07-13 20:58:46
조회수 11,608

삼각함수의 극한 <도형의 근사> #1

게시글 주소: https://orbi.kr/00023592351


궁금하신 문제 알려주시면 적용해서 풀이 계속 올려볼게요!



0으로 가는 각도값이 극한식에서 분모에 1차로 주어지는 도형 극한 문제에서 굉장히 편리합니다.


교과과정도 아니고 전혀 엄밀하지 못한 야매기 때문에 이런것도 있구나 하고 좋게 봐주셨으면 좋겠네요ㅎㅎ


** 리미트 분모에 세타 차수가 제곱 이상일 경우 도형 관점에서 직관적인 해결은 어렵고 

테일러 급수를 활용한 계산과정 단축 정도만 가능합니다.


- 기출 예시 -


2016년 9월 평가원 20번 문제



+0으로 가는 각도를 알파가 되도록 치환해줍시다.


삼각형 BDF와 같은 꼴이 보이면 변DF의 길이는 sin(루트2알파)-> 루트2알파. (아주 당연한건데 중요)


*테일러 급수로 엄밀히 따지면 1차 이상까지 엄밀히 항이 존재하지만 문제에서 물어보는 극한 식은 분모가 알파의 1차이므로 정답에는 영향을 주지 못한다 ^^


이제 변 DF는 길이가 루트2알파로 고정이고 45 로 근사 -> 삼각형 DEF는 직각이등변 삼각형


작은 원은 변DF에 접하므로 수직인 직선을 그어주면 r(알파) 값을 쉽게 구할 수 있다.


r(세타)를 r(알파)로 바꿔서 풀어도 답이 같은 이유는 세타가 45도에 가까워지는 변화에 알파도 대응해서 변하므로 순간변화율이 같기 때문에 결과적으로 극한을 취해도 같은 결과가 나오는 것이라고 보시면 될 것 같습니다.  


** 사진 속 아래 꼭짓점 F가 아니라 E입니다! **



2012년 6월 평가원 29번 문제


ACE가 90도이고 알파가 0으로 가기 떄문에 각AEC도 90도에 근사합니다. 


-> 위에서처럼 직각삼각형 보이니 변CE 길이 루트2 알파죠?


세타가 45에 근사 -> 각 CDE도 45도 근사 -> 삼각형 CED는 직각이등변삼각형 근사


내접원은 선분AE(선분AQ)에 접하고 점C도 접점이므로 변CD의 길이를 내접원 반지름 관계로 표현 가능


장점 : 복잡한 계산 생략하고 1분컷 가능

단점 : 정확한 상황판단으로 사용하는게 아니면 이도저도 못함


정석 풀이가 세타를 알파로 치환하고 이리저리 극한계산하는것에 비하면 전혀 수학적이지 못한 방법이지만 

체화만 되면 답을 구하는데는 가장 빠른 풀이라고 생각합니다.


도형관계랑 테일러급수 차수 조심하면서 근사 차근차근히 적용하면


모든 문제 정말 빠르게 풀 수 있습니다ㅎㅎ


반응 괜찮으면 다음글에 추가 다른 문제에 적용해서 풀어볼게요^^



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storm98 [673092]

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