간단한 함수 문제
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f : ℝ → ℝ이고, 모든 실수 x에서 f(f(x)) = 1이다. 이 때, 모든 실수 x에서 항상 f(x) = 1인가? 그렇지 않으면 그 예를 들어라.
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거짓. x=0일때 f(x)=2이고 x=/=0일 때 f(x)=1인 불연속 함수일 때도 성립
그렇다면, 연속 함수인 경우도 해보시죠!
f(×)=2-x(x<1), 1(x>=1)도 성립하네요.
무한히 미분 가능한 경우도 있습니다! 어떤 경우일까요? (힌트 : 어떤 구간에서 실수로 전체로 일대일 대응하는 함수를 생각해 보세요)
아까 풀면서 생각해보긴 했는데...f(x)=-xe^-x+1/e+1(x<1), 1(x>1) 정도 나왔네요
안타깝게도, 한 번 밖에 미분 가능하지 않군요!
? 상수함수도 미분한 값이 0일뿐이지 미분한 함수가 f(x)=0인 (다소 의미가 없을 뿐이지) 무한히 미분 가능한 함수이고 다항함수와 초월함수의 곱으로 이뤄진 함수는 무한히 미분가능합니다.
"f : ℝ → ℝ이고, 모든 실수 x에서 f(f(x)) = 1"인 모든 함수 f에 대해 f(x) = 1인건 아닙니다. 그리고 그 예를 들어보라 하였습니다.
f(x)=-xe^-x+1/e+1(x<1), 1(x≥1)을 보면, desmos에서는 실수점 1에서 이계 미분 불가능으로 나옵니다. 그래프라서 엄밀하지 않다면, 다른 거로 계산해 볼까요?
아 무한히 모든 실수에서 미분 가능한 함수를 물으셨군요. 한 번도 생각해본 적 없는 함수이긴 하지만, 적어도 고등학교 교육과정 내에서 해당 함수를 본 적이 없는 듯하군요
고교 과정에서 충분히 표현 가능합니다! 그 예시를 알려드릴까요?
한번 풀어보시죠!
지금 일이 바빠서 바로 그때그때 함수가 떠오르는 게 아니면 시간을 쓰기가 힘드네요. 함수를 보여주시면 한 번 보겠습니다.
https://www.desmos.com/calculator/t5bpljtjjk
재밌어보이는 문제네요. 아직 계신가요?
주어진 조건에 따라 그래프를 그리고 함수는 그에 맞게 끼워넣으면 간단하네요.
처음에 쓴게 좀 조잡하길래 정리해서 다시 올립니다.