수2 문제 질문이요

Question

분수방정식 2x^2+ax+b/(x+1)(x-2)=0이 근을 갖지 않도록 하는 상수 a,b에 대하여 a+b의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 하자. 이때, M +m의 값을 구하여라

이문제에서 해설서에는 무연근 -1, 2를 각각 중근으로 갖거나 둘을 근으로 갖는 3가지 경우로 풀었는데요. 여기에다가 2x^2+ax+b 자체가 허근을 갖는 경우도 있지 않나요? 그래서 D<0 해가지고 a,b를 x축 y축으로 변환시켜 풀라고 했더니 최솟값, 최댓값이 안나오네요 왜 허근을 생각 안해준거죠?

sos440 · Accepted Answer

그러게 말입니다. 방정식을 복소범위에서 생각하기 시작하면 고교범위에서는 상당히 골치아픈데 말이지요 -_-;;

어차피 저런 애매한 식의 서술은, 적어도 수능을 염두해두고 계신다면, 절대로 나올 리가 없으니 안심하세요.

달나라초이 · Answer

윗분 말씀과는 다르게, 분수방정식은 복소수까지가 근의 범위에 포함됩니다.
복소수까지가 근의 범위에 포함 되기 때문에, 2x^2+ax+b=0.. 이 방정식이 허근을 가질 때도 근이 있는 겁니다.(허근도 근입니다.)
2x^2+ax+b=0 (복소수 범위에서 판단할때, 모든 이차방정식은 일반적으로 근이 두개입니다.)
그렇다면 저 방정식이 근을 갖지 않기 위해서는 무조건 무연근(-1,2)를 근으로 가질때이죠.

만약 분수방정식이 실근만 근으로 친다면 님의 말씀도 일리가 있지만, 분수방정식은 복소수범위까지 근으로 치기 때문에,
허근을 갖을 때에도 당연히 근을 갖는다고 보셔야 합니다.

sos440 · Answer

저도 학원 다닐 시적에 분수부등식은 실근만, 분수방정식은 모두 포함이라는 식으로 배우긴 했지만

한편으로는 제 기억 어디에서도 교과서나 수능상에서 (명시하지 않은 한) 복소수근을 언급하는 경우를 본 적이 없다고 판단하여 저렇게 답했는데

아마 제가 잘못 알고 있었나 보군요. 괜히 혼란스럽게 한 것 같아서 죄송합니다.



솔직히 수학적으로 납득은 안 가지만 (수능문제를 내는 중심이 교수들이라는 걸 생각해보면, 저도 수학과인 입장에서 저런 조건을 언급하지 않아 혼란을 주고 싶진 않을 것 같군요),

실제로 교과서나 수능에서 그렇게 방향을 잡고 있다면 그런 것일 테니까요;;;

수2 문제 질문이요

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