ln(x)를 정의하는 두 가지 방법
게시글 주소: https://orbi.kr/00022521513
ln(x)를 정의하는 두 가지 다른 방법을 살펴보기로 하자. 고등학생들이 이해하기에도 크게 어렵지 않은 내용이다.
(1) 지수함수의 역함수로 정의하는 방법
(2) 함수 y=1/x의 정적분으로 정의하는 방법
고등학교에서는 (1)의 방법으로 배우지만, 대학에서는 흔히 (2)의 방법으로 로그함수에 대해 먼저 설명하고 그 역함수로 지수함수를 정의하기도 한다. 두 가지 방식에 대해 간략하게 살펴보기로 한다.
(1) 지수함수의 역함수로 로그함수를 정의하는 방법
고등학교에서 지수함수의 정의역을 확장하는 과정을 다시 한 번 차례대로 살펴보면 다음과 같다. 1이 아닌 양의 실수 a에 대하여
➀ n이 자연수일 때는 a를 n번 곱한 것을 a^n으로 정의하고, ➁ 음의 정수 n에 대해서는 a^n = 1/a^(-n)으로 정의한다. ➂ 그리고 a^0 = 1로 정의하여 모든 정수 m에 대해 a^m을 알게 된다. ➃ 계속하여 거듭제곱근을 이용하여 유리수 m/n에 대해 a^(m/n)을 정의하고, ➄ 실수 x로 수렴하는 유리수수열의 극한을 생각하여 일반적으로 실수 x에 대해 a^x을 정의한다.
이렇게 지수함수를 정의하면 잘 알려진 지수법칙
a^(x+y) = a^x a^y
가 성립한다는 것을 확인할 수 있다. 또한, 지수함수는 애당초 유리수 집합에서 실수 집합으로 정의역을 확장할 때 연속함수가 되게끔 정의했고, a가 1이 아니면 증가 또는 감소하는 함수이며 함숫값이 항상 양수이므로, 양의 실수에서 정의되는 역함수가 존재하는데, 지수함수의 역함수로서 밑이 a인 로그함수를 정의한다.
한편, 극한을 배우면 무리수 e를 알게 된다. n이 무한히 커질 때 수열 (1+1/n)^n이 어떤 실수로 수렴하고 이 수를 e로 정의한다. 이 수열이 수렴한다는 사실은 고등학교에서 자세하게 배우지는 않지만 대학에서는 단조수렴정리를 이용하여 증명한다.
이제 밑이 e인 로그함수를 ln(x)로 정의하고, 이를 자연로그 함수라고 한다. 이렇게 정의된 ln(x)는 연속함수인 지수함수의 역함수이므로 역시 연속함수이고, 잘 알려진 로그의 성질
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
를 만족한다는 것을 쉽게 보일 수 있고, 수학적 귀납법과 연속함수의 성질을 이용하여 임의의 실수 t에 대해
ln(x^t) = t ln(x)
를 만족한다는 것도 알 수 있다. 그리고 도함수의 정의와 실수 e의 정의, 로그함수의 성질을 알고 있으면 ln(x)를 미분하면 1/x가 된다는 것을 보일 수 있다. 즉,
{ ln(x+h) - ln(x) } / h = (1/h) ln(1+ h/x)
이고, 이때 t=h/x로 치환하면 위의 식은
(1/x) ln(1+t)^(1/t)
로 변형할 수 있다. 여기서 t→0일 때의 극한을 생각하면
(1+t)^(1/t) → e
로 수렴하므로 ln(x)의 도함수는 (1/x) ln(e), 즉 1/x임을 알 수 있다.
결국 ln(x)는 도함수가 1/x인 함수이니 에 의해 함수 y=1/t를 구간 [1, x]에서 정적분하면 ln(x)가 된다는 것도 알 수 있다.
(2) 함수 y=1/x의 정적분으로 로그함수를 정의하는 방법
이 방법은 지수함수를 먼저 정의하지 않고 로그함수를 먼저 정의하는 방법이다. 즉, 함수 y=1/t를 구간 [1, x]에서 정적분하면 ln(x)라고 정의한다. 그러면 정적분의 성질을 이용하여
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
가 성립한다는 것을 보일 수 있고, 정적분의 정의에 의해 ln(1)=0인 것은 자명하다. 또한, 위의 관계식에서 y 대신에 1/x을 대입하면 ln(1/x) = - ln(x)가 되는 것도 쉽게 알 수 있고, 수학적 귀납법을 이용하여 자연수 n에 대해 ln(x^n) = n ln(x)가 성립하는 것도 보일 수 있다.
이제 가 중요한 역할을 할 차례인데, 이렇게 정의된 함수 ln(x)는 미적분학의 기본 정리에 의해 미분가능하고 도함수가 1/x이 된다는 것을 쉽게 알 수 있고, 미분가능하므로 역시 연속함수이다. 또한, 도함수가 항상 0보다 크므로 증가하는 함수인 것도 알 수 있다.
한편, 조화급수가 발산한다는 사실을 비교판정법을 통해 알 수 있는데, 구간 [k-1, k]에서 정적분 넓이를 비교하면
ln(k) - ln(k-1) > 1/k
이므로 k=2, 3, ..., n에 대해 더하면
ln(n) > 1/2 + 1/3 + ... + 1/n
임을 알 수 있다. 이제 또한 임의의 1보다 큰 양의 실수 x에 대해 n≤x
ln(x) ≥ ln(n) > 1/2 + ... + 1/n
이 된다. 이제 x가 무한히 커지면 n도 무한히 커지므로 ln(x)는 무한히 커진다.
또는 조화급수를 이용하지 않고 같은 결과를 설명하겠다면, 임의의 2보다 큰 양의 실수 x에 대해 2^n ≤ x < 2^(n+1)을 만족하는 자연수 n이 존재하므로
ln(x) ≥ ln(2^n) = 2^n ln(2)
임을 알 수 있어서 x가 무한히 커지면 n도 무한히 커지고 결국 ln(x)도 무한히 커진다는 것을 알 수 있다.
또한, ln(x) = - ln(1/x) 이므로 x가 0에 가까워질 때 ln(x)가 음의 무한대로 발산한다. 이로써 ln(x)의 치역이 실수 전체인 것도 알 수 있다.
이제 ln(x)가 증가하는 연속함수이고 실수 전체가 치역이므로 실수 전체에서 정의되고 치역이 양의 실수 전체인 역함수가 존재하고, 이 함수를 exp(x)라 정의한다. exp(x)는 연속함수의 역함수이므로 역시 연속이다. 그리고 무엇보다도 잘 알려진 지수 법칙
exp(x+y) = exp(x) exp(y)
이 성립한다는 것을 함수 ln(x)의 역함수라는 사실로부터 간단하게 보일 수 있고,
exp(x) = {exp(1)}^x
를 만족한다는 것도 설명할 수 있다.
이때, exp(1)은 어떤 수일까? 로그함수의 정의로부터 자연수 n에 대해 구간 [n, n+1]에서 정적분 넓이를 비교하면
1/(n+1) < ln(n+1) - ln(n) < 1/n
이고, 이때 각 변에 n을 곱하면
n{ ln(n+1) - ln(n) } = n ln(1+1/n) = ln(1+1/n)^n
이므로
n/(n+1) < ln(1+1/n)^n < 1
이 된다. 그리고 ln(x)가 증가함수이므로 역함수인 exp(x)도 증가함수이다. 따라서
exp( n/(n+1) ) < (1+1/n)^n < exp(1)
이 된다. 이제 exp(x)가 연속함수라는 사실과 샌드위치 정리를 이용하면 수열 (1+1/n)^n이 exp(1)로 수렴한다는 결론을 얻을 수 있다. 그러므로 exp(1)=e라고 하면 이 수가 바로 우리가 알고 있는 무리수 e이고
exp(x) = e^x
와 같게 된다. 또한, ln(e)=1이므로 정적분으로 정의된 로그함수 ln(x)가 방법 (1)에서 알아낸 밑이 e인 로그함수와 같은 함수임을 알 수 있다.
(p.s. 1)
그 외에 테일러 급수를 이용해 정의하는 방법도 있지만 이건 고등학생들이 이해하기에는 적당하지 않아서 생략한다.
(p.s. 2)
사실 역사적으로는 로그함수를 지수함수보다 더 먼저 알게 되었다고 한다. 미적분학 초기 역사에서 여러 수학자들의 노력으로 x^n의 역도함수(원시함수, 부정적분)가 n≠-1일 때는
∫(x^n)dx = x^(n+1) / (n+1) + C
라는 것이 알려졌지만, 계속 알아내기 힘들었던 게 바로 1/x의 적분이었다고 한다. 계산의 편의를 위해 로그를 이용하게 된 게 먼저이고, 1/x를 적분하면 로그의 성질을 갖게 된다는 발견이 그 다음에 이어졌고 지수함수는 나중에 정의되었다고 한다.
(p.s. 3)
1. John Napier가 로그 개념 발표한 것이 1614년.
2. Alphonse Antonio de Sarasa가 1/x 적분이 로그와 같은 성질을 갖는다고 발표한 것이 1649년.
3. 현대적 역함수로 로그를 나타낸 것은 Euler로 1748년.
https://www.facebook.com/100000109816754/posts/2595654003781568?sfns=mo
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
좋아요 1 답글 달기 신고
-
관리자에 의해 삭제된 댓글입니다.좋아요 1
-
룸메분이랑 잘맞으니까 뭔가 둘이 화목하고 재밋음 나중에 이런사람이랑 결혼할래
-
신경성 습관성 만성 질환 안 걸리기 O 역류성 식도염 과민성 대장 증후군 신경성...
-
일시정지하고 재생할때마다 화면 한번씩 순간 깨졌다가 돌아오는데 눈아파죽겠네
-
애초에 선택과목 구분없이 원점수만 보고 통합해서 등급컷 계산했으면 깔끔한거 아니었음?
-
강기분, 마더텅 0
수능국어 목표3 독서,문학 일클 듣고 있는데 4에서 벗어나질 못 합니다 일클에서...
-
서울대 사회계,경영경제 정시기준잡고 25건수의 (사탐 허용) 정시에서 서울대 나군...
-
저도 써보고싶어요 듣고 싶으신 주제라도 있을까용
-
풀어야하나요
-
하씨발 수학 안할라면 메디컬가야하는데 수학울 개쳐못해서 메디컬을갛수가없음 대학수학은...
-
늦게일어난김에 0
에잇 오늘은 쉬는날이다
-
몸무게 50키로인데 콘서타 36미리 먹고 있어요 여기에 초콜릿 진한거랑 아메리카노...
-
중간고사 1등급 하나도 안뜨게생겼노 한잔해~
-
확실히 평가원 의도는 선택과목간 표점차 줄이는거 같네요 3
24수능 브리핑 보니까 선택과목간 표점차 줄이려고 노력했다고 하네요 근데 작년 확통...
-
블핑은 신이네 0
아이돌은 노래실력 필요업다고 생각했는데 코첼라 존나 멋잇네 ㄹㅇ
-
팔로우 해줘잉 8
ㅠㅠ
-
객관식 다맞은 애들이 1등급 숫자보다 많음
-
국어 > [리트 전개년 기출 언어이해] 2020 28~30 > [리트 전개년 기출...
-
방금 0906 조세전가 지문 풀었는데 질문좀 할게요 0
마지막 문단 읽을 때 생산자가 생산량을 바꾸지 못 하는 경우 이거 읽으면서 뭔...
-
고3이 수시로 침대에 들어가다.
-
오전에 마무리안된거 떠올라서 옯질문!!! 큐브질문다써버림ㅋㅋ;; 위 문항 2번선지...
-
ㅠ
-
https://go.pusan.ac.kr/college_2016/pages/index...
-
..
-
가능성이 있는 상태에 중독되어 있는 사람들이 많은 거 같네요 1
나도 그랬었고. ”난 머리 좋은데 공부 하기는 싫어서 안했어. 그래서 점수가 낮게...
-
아이폰으로 바꿀까..
-
물1 노인강 독학루트 추천좀요
-
시도라도 해봤었더라면 상황은 달라졌을까
-
가채점 등급컷 공지사항에 있다는데 없길래...
-
요즘은 걍 감흥도 없음...
-
전으로 돌아갈수는 없을까
-
갑자기 왜 노래부르냐 강의시간에?
-
아니면 좀 더 줄여할 할까요
-
가요는 가능해요
-
생각하며 글읽기 강의는 이미 국일만 노베로 대체를 했는데 구지 들을 필요 없이 바로...
-
짝녀가보고싶은점심 15
에 돈까스를 먹었다
-
감축은 안됌;;; ㅈㅂ
-
‘애오’ 7
애~오~!
-
아니내가뭘 11
했다고 충전기가 갑자기 이리된걸까... 심지어 노트북에서 저게 빠지지도 않아..
-
이거 3번이에요?
-
계산실수 이런거 많이하면 들어가면 안되겠죠
-
대체 어떻게 썸타고 있는 거임 신기하네
-
←저금통 5
-
https://www.newsis.com/view/?id=NISX20240425_00...
-
학원을 못갔다...할수 있는건 인강듣기 밖에 없음... 이따가 미적 수분감도...
-
진짜 내 얼굴인줄....
-
"대한민국 의료 난도질, 환자 제물될 것"…서울대병원 교수 자필 대자보 1
전국 의대 교수들의 사직서 효력 발생 첫날인 25일, 서울 종로구 서울대병원의 한...
-
없없무도 1
https://www.instagram.com/reel/C6NVDF-JBKT/?igs...
-
제주 시골학교 또 일냈다.. 프랑스 명문미대 합격생 2명 배출 1
제주 애월고등학교가 3년 연속 프랑스 명문 미대 합격생을 배출했습니다. 26일...
-
의대생들 "증원은 계약위반"…대학측 "민사 아닌 행정소송 대상" 1
대입전형 시행계획 변경금지 가처분 심문…월말 결정날 듯 (서울=연합뉴스) 이영섭...
-
윤성훈 불후의명강 이거 ㄱㄱ? 과탐 하다가 사탐런인데 사탐도 개념인강 하나 들어야겟지?