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스- [868667] · MS 2019 (수정됨) · 쪽지

2019-04-07 20:27:04
조회수 10,867

[수학] 절대부등식을 멋있게 쓰는 방법

게시글 주소: https://orbi.kr/00022241486

[가형] 알아두면 좋은 경시 공식들 (+뒤에 18학년도 수능 가형 30번 풀이): https://orbi.kr/00022226502




토요일 밤, 내신공부하기 귀찮아서 올린 저 글에 무려 95개의 좋아요가 달리며 오르비 메인에 내 글이 이륙되었다.

오르비 캐스트에 내 글이 최상단으로 올라갔으며,

‘팔로워’ 라는 것도 생기고, ‘덕코’도
기부받았다.

(어디다 쓰는건진 잘 모르겠지만, 넌 안준다.)


 전-혀 예상치 못한 결과이다.(과고 떨어진 사람들이 오르비에 많은건가?)


물론, ‘수능수학 수준에서는 독이다.’ ‘모르는게 낫다.’ 라는 부정적인 반응들도 있었다.

본인도 저 의견에 동감한다. 그런고로, 결자해지의 마인드로 글을 쓰는 중이다.

(26요청도 그래서 넣은거다. 이런 추한 짓은 보통 안하는데...)


다만 그것은 위 글의 내용을 ‘철저히 알지 못’할 때의 이야기이다.

아무리 좋은 공식과 문제풀이 방식도,

정확한 이해
없이 아무렇게나 쓰다가는 봉변을 당할 가능성이 크다.


일전의 글이 맛있는 삼겹살과 된장찌개였다면, 이번 글은 혹시 체했을지 모르는 당신의 속을 위한 소화제이다.


이번 글에서는 앞 글에 소개한 첫 두 공식 (산술-기하 평균 부등식, 코시-슈바르츠 부등식)에 대한 내용을 기술하겠다.


0. 서론

앞으로 소개할 부등식들은 다음과 같은 소재에서 큰 의미를 가진다.

-성립조건: 성립조건이 만족된다는 확신이 들 때만 사용하여라.

-등호조건: 부등식의 적용으로 최대/최솟값을 구한 후에, 등호조건(등호가 성립할 조건)이 문제에서 묻는 범위에 포함되는지, 가능한 조건인지 살펴봐야 한다. 등호조건은 접선의 접점과 같은 중요한 점의 정보를 내포하고 있을 수도 있다.




1. 산술-기하 평균 부등식

재탕.

성립 조건은 a1~an 모두 0 이상의 실수여야 하며,

등호 조건은 a1~an이 모두 같은 수일 때이다.


용례) 간단한 용례는 메인에 이륙되었던 이전의
칼럼을 보고 와 주시면 되겠다.


유리함수의 극대/극소를 구할 때


의 극대, 극소를 찾아 그래프를 빨리 그려보자.



분모에서 산술-기하평균 부등식을 사용하여 함수식의 최댓값을 구했다.

X가 0이 아닐 때에는 위와 같은 방법으로 식을 정리해주면 극대, 극소점의 위치를 빨리 잡을 수 있다.

(등호조건의 x가 극대점의 좌표이니까)


무한대로의 극한을 취해보고, 그래프가 (0,0)을 지난다는 사실을 인지하면

-^v- 모양의 그래프를 얻을 수 있다. 익숙해지면 미분을 사용하는 것보다 편할 것이다.


여담으로, 저런 모양의 함수 (mx over nx^2+p) 는 극점과 변곡점의 x좌표 비가 1대 루트3이다.


더욱 복잡한 식의 최대,최소를 구해보자.


(x>0)의 최소를 구해보자.


문자 쪼개기라니! 엄청난 신기술이다.
(등호조건은 중간 변의 세 항이 모두 같을 조건이다.)

이를 이용하면 저 함수의 그래프도 잘 그릴 수 있겠지?


하지만, 이런 짓을 하는 바보들도 있다.


숫자 맞춘다고 좋아하다가 봉변당한 것이다. 위 식은 등호조건이 성립하지
않는다.

절대부등식의 ‘멋지지 못한’ 사용인
것이다.


다른 바보를 한번 만나보도록 하자.



실제로 저런 간단한 식의 최소를 구하는데 산-기(산술-기하평균 부등식의 인-싸용어)를 쓸 흑우는 없다.


이 용례를 통해 말하고 싶은 것은, 절대부등식으로 최대, 최소를 구하고 싶으면 우변이 상수가 나오도록 작업을 하라는 것이다.

우변이 식이 나오는 절대부등식은 그냥 원함수와의 차이함수가 중근을 가지는 함수식을 구한 것이다.

(이것도 등호조건이 알맞을 때 이야기.)


요약) 등호조건의 성립 여부를 꼭꼭 확인하라

근호 안에 쑤셔넣을 숫자들이 모두 양수인지 확인하여라


그럼, 예제 하나를 던지며 산술-기하 평균 부등식에 대한 설명을 마친다.



2. 코시-슈바르츠 부등식

 

등호조건은 a:b=x:y // 좌변의 제곱수를 양쪽 괄호에 3개 이상씩 넣어도 된다.

a,b,c…, x,y,z…에 대해 등호조건이 성립하도록 주의해야 한다.

 

이건 별로 할 말이 없다. 성립조건도 널럴한 편이고, 딱히 문제되는 용례가 별로 없다.

좌변의 괄호 속 수가 모두 양수여야 한다는 것을 조심.

용례는 일전에 썼던 것을 가져오자.

에 접하는 기울기 m인 직선을 구하자.


등호조건을 만족하는 (x,y)에서의 접선이 우리가 찾는 기울기 m의 접선이며, 그 직선은이다.

(좌변의 첫번째 괄호는 타원 위 한 점 (x, y) 에 대해 항상 1이므로)


요약: 등호조건 체크 꼼꼼히. 성립시킬
자신 없으면 사용 ㄴㄴ



위 둘 절대부등식은 수능수학에서 그나-마 많이 적용할 수 있는 부등식들이다.

최근 수능수학은 저런 식으로 안 풀리게 만들어지고 있고,

수능장에서 이 두 식을 쓸 확률도 거의 없을 것이다.

(기껏해야 그래프 극대,극소
찾기.)

어쨌든, 알아두었다가 수리논술장이나 내신 시험장 객관식
문제에 자신의 지식을 적용할 수 있는 멋진 순간이 오기를 기대해보자.


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