수리양민이 기본개념답변좀부탁드려요~~~

Question

너무쉬운거라 어디서 찾아야할지도 모르겠네요ㅠㅠ1. 4< logA≤5 3 (AB)^n = A^nB^n 는 성립하는걸로 알고있는데요이것의 역도 성립하나요?? 만약 위에것이 필요충분조건으로 된다면ABC=CBA -> (ABC)^n = A^nB^nC^n 이것도 필요충분조건인가요??어려운건아니지만 수험장 들어가기전에 불안해서요ㅠㅠ수리고수님들의 답변 부탁드려요~감사합니다

sos440 · Accepted Answer

1. 아주 차근차근 생각해보세요.

       3 < logB ≤ 7
⇔   -7 ≤ -logB < -3

이므로, 이 부등식을 4 < logA ≤ 5 와 더하면 당연히 -3 < logA - logB < 2 가 나옵니다.



2. 아니요. 다음과 같은 반례가 존재합니다.

임의의 자연수 n에 대하여 (AB)^n = (A^n)(B^n) 이지만 AB ≠ BA.

일단, 간단한 관찰을 통해서 이러한 A, B는 역행렬을 가질 수 없음을 알 수 있습니다. (왜냐하면 ABAB = AABB 이고, 둘 다 역행렬을 가진다면 이로부터 BA = AB 가 따라나오기 때문입니다.) 이제 이를 염두해 두고, 다음과 같은 반례를 생각해봅시다.

A = {{1, 0}, {1, 0}}
B = {{0, 0}, {1, 1}}

그러면 AB = O, BA ≠ O 이고 A^n = A, B^n = B 입니다. 따라서 (AB)^n = O^n = O 이고 (A^n)(B^n) = AB = O 이지만 AB ≠ BA 입니다.

(이런 반례를 어떻게 생각하셨냐고 물으실 수 있는데, 사실 알고 보면 간단합니다. (1) 거짓일 것이라고 직관으로 짐작한다. (2) 위와 같이, 매우 강력하면서 동시에 반례를 줄 수 있는 조건들을 설정해본다. (3) 실제로 그 조건들을 만족하는 예를 찾아본다. 물론 (1)번이 가장 어렵다는 데에는 저도 이견이 없습니다만, 그건 개인의 경험과 역량 문제이니 저도 딱히 꼬집어서 이런 방법이 좋다고 말하기는 힘드네요.)

mcmk · Answer

답글이 한개밖에 없어서 실망했는데 정말 완벽한답변이 있어서 답변이 없었군요!!

감사합니다!! 좋은하루되세요~~

수리양민이 기본개념답변좀부탁드려요~~~

최근 게시글 · 더보기

오르비 캐스트