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나 나 [803977] · MS 2018 (수정됨) · 쪽지

2018-11-05 22:10:52
조회수 49,637

합성함수, 역함수 칼럼입니다.

게시글 주소: https://orbi.kr/00019009163

오늘은 이 칼럼을 작성하느라 공부를 별로 못 할 것 같네요. 이 칼럼이 아마 올해 저의 마지막 칼럼이 아닐까 싶네요.



위 사진은 1994(2차)-공통17번 문제입니다. 올해 9모 나형 30번 문제를 현장에서 맞추셨거나 혹은 그렇지 않더라도 역함수의 성질을 정확히 숙지하고 있는 분이시라면 아마 10초 이내로 푸실 수 있을겁니다. 칼럼을 읽으시기 전에 한번 이 문제를 꼭 풀어보시길 바랍니다.


1) 학생들이 합성함수와 역함수를 어려워하는 이유


요즘 인터넷 커뮤니티를 보면 몇몇 오르비언 분들을 포함한 일부 수험생들이 수학2, 조금 더 정확히 말씀드리자면 합성함수와 역함수를 많이 어려워하고 있는 모습을 쉽게 볼 수 있습니다. 분명히 합성함수와 역함수 3점짜리 문제는 손쉽게 풀 수 있는데 4점짜리 즉 킬러 문제로 나오면 왜 느낌이 싸해지면서 문제가 잘 안 풀릴까요? 저는 그 이유가 바로 많은 학생들이 역함수의 성질들을 기계적으로 외우기만 할 뿐 그 성질들을 문제에 적용하지 못해서 생기는 현상이라고 생각합니다.



위 사진은 함성함수와 역함수에 대해 학생들을 대상으로 조사한 논문의 일부입니다. 제가 파란색으로 색칠한 문장을 자세히 보시면 이 논문에서 학생들은 역함수의 성질 중에서 f(f^-1(x))=x 라는 성질을 잘 이용하지 못한다는 결론을 도출하고 있음을 알 수 있습니다.


2) f(f^-1(x))=x


우리는 분명 f(f^-1(x))=x가 역함수의 성질이라고 알고 있습니다. 하지만 이 성질을 이번 9모 나형 30번에 바로 적용한 사람들이 얼마나 될까요? 물론 현장에서 f(f(x))=x라는 식을 보고 f(x)=x인 경우와 f(x)=x가 아닌 경우, 이 두 가지 케이스로 나누어 보시면 두 번째 경우에서 f(f^-1(x))=x라는 역함수의 성질을 떠올렸을 수는 있었겠네요. 이처럼, 수학 나형에 한정해서 합성함수, 역함수 킬러 문제들은 모두 역함수의 성질들에 의해 풀리도록 되어 있습니다. 따라서 이 성질들을 응용한 킬러 문제가 올해 수능에 나올거라 조심스레 예측해봅니다.


※ 밑줄 친 문장들을 반드시 정독하세요.


그러므로 우리는 반드시 f(f^-1(x))=x라는 역함수의 성질을 숙지해야 합니다. 쉽게 설명드리자면 안은 함수와 안긴 함수를 합성했을 때 항등함수 즉 x가 된다면 안은 함수와 안긴 함수는 서로 역함수의 관계를 가집니다. 예를 들어 f(g(x))=x이면 안은 함수 f(x)와 안긴 함수 g(x)는 서로 역함수의 관계를 갖습니다. 더 나아가 f(g(h(x)))=x이면 안은 함수 f(x)와 안긴 함수 g(h(x))는 서로 역함수의 관계를 갖습니다. 따라서 f(g(h(x)))=x의 해는 y=f^-1(x)와 y=g(h(x))의 교점들의 x좌표들이 됩니다. 


앞서 설명드린 문장들을 계속 곱씹으면서 이해하도록 노력해보세요. 반드시 아셔야 하는 중요한 부분입니다! 다음 내용들은 올해 수능에 나올 법한 합성함수들의 형태들과 그에 대한 풀이들을 나열한거니 참고하시길 바랍니다.


ⓐ f(f(x))=x인 경우


f(x)=x, y=f(x)와 y=f^-1(x)의 교점의 x좌표이다.


ⓑ f(f(f(x)))=x인 경우


f(f(f(x)))=x는 y=f^-1(x)와 y=f(f(x))의 교점들의 x좌표 또는 y=f(x)와 y=f(f(x))의 역함수의 교점들의 x좌표이다.


ⓒ f(f(x))=f(x)인 경우


f(x)=X로 치환하면 f(X)=X라는 하나의 방정식이 생기고 이 방정식의 교점들을 지나는 가로축에 평행한 직선을 그어 y=f(x)와 만나는 모든 교점들의 x좌표들이다.


보충 설명)



ⓓ f(f(f(x)))=f(x)인 경우


ⓒ처럼 f(x)=X로 치환하면 f(f(X))=X라는 하나의 방정식이 생기고 ⓐ와 ⓒ의 방법을 조화


보충설명)




3) 역함수의 성질을 이용한 기출 문제 풀이


아까 기출 문제에서 물어보고 있는 f(f(f(x)))=x의 해는 역함수의 성질인 f(f^-1(x))=x를 이용하면 안은 함수 f(x)와 안긴 함수 f(f(x))는 서로 역함수의 관계이므로 f^-1(x)=f(f(x))의 교점들의 x좌표들이 된다. 따라서 y=f^-1(x)인 빨간색 그래프와 문제에서 주어진 y=f(f(x))의 교점들의 x좌표들은 8개이므로 이 문제의 정답은 ③이 된다.


4) 이 글을 마치며


평가원은 우리들에게 계속 물어보고 있습니다. 너, 이 개념은 알고 있는 것 같은데 그럼 응용은 할 줄 아니?


어제 새벽 5시까지 여러 논문들을 찾아 보면서 점점 확신이 들었습니다. 평가원은 '교육과정평가연구' 이라는 산하 기관을 두는데 이 기관에서 선생님들을 대상으로 바람직한 수능 기조에 대해 조사하는 등 앞으로 수능을 어떻게 출제해야 하는지에 대해 직접 논문을 작성합니다. 이처럼 평가원은 학생들뿐만 아니라 선생님들에 대해서도 잘 알고 있는 듯 합니다. 하지만 평가원은 학생들을 대상으로 직접 조사를 하지는 않습니다. 다만, 다른 집단에서 학생들을 대상으로 조사한 논문들을 바탕으로 학생들이 어떤 개념에 취약한지 파악한 후 이를 바탕으로 킬러 문제들을 출제하는 것 같네요. 평가원이 직접 학생들을 대상으로 조사하면 어떤 문제들이 출제될지 쉽게 예측할 수 있을테니까요.


5) 나나의 마지막 개꿀팁!


어제 논문들을 찾아보다가 아이러니하게도 평가원이 자신들이 수능에 출제했었던 비문학에 대해 평가하는 논문이 있더라고요. 그 논문을 읽어보니 제가 여태동안 봤었던 국어 칼럼들의 내용과 매우 흡사하더라고요. 평가원이 아닌 다른 집단에서 수능 국어 비문학에 대해 쓴 논문들도 마찬가지고요. 이 칼럼을 통해 전국에 모든 수능을 준비하는 수험생들에게 이 정보가 퍼져 나간다면 더 이상 수능 국어 기출 분석을 어떻게 해야 하는지 물어보는 사람들이 없겠네요.


한국교육과정평가원의 산하 기관인 '교육과정연구' 에서 직접 작성한 수능 국어 비문학에 대한 논문 링크입니다.


https://www.kci.go.kr/kciportal/ci/sereArticleSearch/ciSereArtiView.kci?sereArticleSearchBean.artiId=ART002048012



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