수리 ♡가♡형 미분 그래프 그릴 때 생각해볼만한 문제.
게시글 주소: https://orbi.kr/0001837594
e^x/x^n 이 n이 무한데로 커져도 분자가 always 더 큰거에요?
e=2.8 이고 2.8의 x승한 지수함수가 x에 10억 승 한 다항함수보다 항상 더 커요?
어떻게 증명해요?
로피탈 말고 고교과정 안에서 증명 가능한가요?
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
171130 181130 190621 세문제 뽑아가놓고 대충 그럴싸하게 풀이...
-
법학적성시험 언어이해 시험지 원본 A3로 프린트해서 푸셈
-
약속생김 0
내일 저녁에 친구랑 카페가서 수다떨거 같고 다음주 주말에 나가서 술마시는데 이때가...
-
기타 어려워
-
18드릴기벡 풀기
-
가방 포장 완료 5
-
ㅇ
-
버리려고 다 꺼내놓으면 똑같은 옷을 왜이렇게 많이 샀냐고 세대주님께 쿠사리 먹을게...
-
못하겠어요
-
학교 2번만가는 나의 승리다
-
이제 고3이라니 1
시간이 너무 빠르네요 시간을 잡을 수 없어서 아쉽
-
오르비나 ㅍㅁㅎ에 수리 가형 시절 수학 N제들을 검색해서 무료로 다운로드...
-
친구가 없어요 0
슬퍼요
-
오랜만이에요
-
정답률이 아주 그냥 x창이 났던 문제 사실은 다음과 같은 프로세스로 플린다 1은...
-
속보) 난 리 난. N .페. 이 대. 란 요. 약 0
https://m.site.naver.com/1Abu2
-
학자마다 전염, 혼태, 감염 등 다양한 표현으로 씁니다만, 서구권에서는...
-
왜냐면 아니거든.
-
갑자기 내 방 들어와서 내가 보는앞에서 오줌싸고 다시 나감뇨 ㅡㅡ
-
그야 아니니까.... 가 아니네 ????????????
-
I'm back 1
옯생시작
-
무더운 밤 4
잠은 오지 않고
-
아직 마음은 고딩인데 내일부터 서울대에 가서 수업을 듣는 대학생이라고?
-
강기원쌤 겨울에 한거 라이브 다 사서 한달컷 가능? 3
수학 잘하는 편은 아니고 1컷(작수) 미적 잘 못합니다 라이브ㅜ싫지만 워낙 추천이...
-
뭐랄까… 나랑 안맞는다 1강이라 공부법도 알려주는데 난 그 철학이랑 생각이 다름…
-
개강이라니... 0
어느새 벌써 3월이라니 저번주에 수능본거 같은데..
-
일본 sf치고 굉장히 인상적이었던 기억이 있네여
-
나도 학교 좀 나가면 걸어야지 담주에 함 시도를
-
모카번먹었더니 갑자기 개안되는거마냥 세상이 다르게보임
-
기분 좋아지면 공부하기 싫어져서 우울해지고 우울해지면 공부 잘돼서 기분 좋아짐 이게...
-
아침에 가서 현정훈모고풀기..?
-
틀딱 22학번 드가자
-
본인 학교에 수스퍼거가 많아서 사실 불가능함 걍 5등안에 들기 ㄱㄷ
-
하나 골라주세여
-
국수영 261 현역 고3 간호 지망 풀사탐이 맞을까요? 7
이미 생윤을 하고 있는 수험생입니다. (현역) 세계사 vs 사문 vs 생명 세계사는...
-
-
다들 겨울시즌이 중요하다하는데 지금 들어가도 따라갈수있는 수업 없나요 유명강사 말고...
-
저를 보게 되면 반겨주세요
-
07이라서
-
시험 끝나고 할거 없어서 수업시간에 한명씩 돌아가며 장기자랑을 시켰는데 저는 울었습니다.
-
고양이가 저에욥
-
큰일난거같아여
-
에휴
-
의학석박사나 딸까 10
이유는 그냥 멋있어보이니까…
-
수분감에 대해 0
현우진 커리큘럼 타고있는데 수분감에 해설 중 오개념이 있다고 들어서 수분감 말고...
-
기출 두 번째 보고있는데 진짜완벽하게 평가원 끝내놓고 가고싶어서ㅠㅠ 6,9,수능만...
-
가오 빡으로 잡는다
-
저는 고3때 학교수업 진짜 죽어도 못듣겠어서 나중에 혹시라도 공군갈 기회 포기하고...
-
둘이서 20만원 나왔네 12
배불
-
안녕하세요, 물개물개입니다 우선 이 글은 저처럼 친구 많이 없는 일반고 정시러들을...
고교과정아님
그거문제에 주어지지않나요?
아 고교과정 아님?
문제에 없엇떠염
문제 함 보내드릴까여? ㅋㅋ 좋은 문제였쑴 ㅎ
그거 교육청같은데보면 꼭 써주는데 지수함수가 그..그... 다항함수보다항상크다고
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D%28e%5Ex+%29-+%28x%5E1000000000%29+from+0+to+100
와우 이런거 첨보는데? ㅋㅋㅋ
걍 말로 설명해주삼 ㅋㅋ
ㅠㅠㅠ 저거 darveystar님이 묻는문제 그래프로그려본거 ㅠㅠ
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D%28e%5Ex+%29-+%28x%5E1000000000%29+from+0+to+15
대충 직관으로 10정도만넣어봐도 엄청난증가..!
... 질문의 요지를 모르겠네요. 제 생각에는 x가 무한히 커질때
임의의 n값에 대하여
e^x/x^n의 값은 무한히 크다. 이걸 말하시는 것 같은데, 이거라면 증가속도에 관한 문제네요
일반적으로 다항함수의 증가속도는 지수함수보다 작습니다.
e^x의 테일러전개를 생각해보면 자명하겠네요
아 맞아요!
근데 테일러전개가 머에여?? ㅠㅠ
잉
http://goo.gl/dDo3s
x가 충분히 커지면 e^x는 임의의 모든 다항식보다 더 커질수있음.
자명한건 아니고.. 증명은 e^x를 급수형태로 표현해서 하는건데
증명하려면 대학미적분 급수쪽에서 배우는 몇가지 기초적인 사전 개념이 필요해서
고교과정에서 일반적인 증명은 안될듯.
고등학교 과정에서 증명 가능합니다.
우선, x가 양수일 때, 임의의 자연수 n에 대하여 e^x > 1 + 1/1! x^1 + 1/2! x^2 + ... + 1/n! x^n 이 성립합니다.
어떻게 증명할 수 있을까요? '임의의 자연수 n'에 대한 것이므로, 수학적 귀납법을 이용해 봅시다. 또한, 지수함수와 다항함수는 얼마든지 이용할 수 있으므로, 미분을 마음 놓고 이용할 수 있습니다.
i) n=1일 때 성립
n=1이면 e^x > 1+x이라는 것을 증명해야 하는군요. f(x) = e^x - 1 - x라 두면, x>0일 때 f(x)>0을 증명하는 것이 우리가 할 일입니다. 그런데, 이러한 형태는 많이 풀어 보았을 것입니다. f(0)=0이고, x>0이면 항상f'(x) = e^x - 1 > 0이라는 것에서, x>0이면 f(x)>0임을 얻습니다.
ii) n=k일 때 성립하면, n=k+1일 때 성립.
위와 비슷하게, 미분을 사용해 보도록 하겠습니다.
n=k일 때 성립하므로, x>0이면 g(x) = e^x - (1 + 1/1! x^1 + 1/2! x^2 + ... + 1/k! x^k ) > 0 이 성립합니다. 이제 h(x) = e^x - {1 + 1/1! x^1 + ... + 1/(k+1)! x^(k+1) }이라고 둡시다. 그러면 h(0)=0이고, x>0일 때 h'(x)=g(x)>0이므로, x>0일 때 h(x)이 성립합니다. 이에서 n=k+1일 때의 부등식을 얻습니다.
따라서, e^x / x^n > {1 + 1/1! x^1 + ... + 1/(n+1)! x^(n+1) } / x^n 인데, x가 한없이 커지면 부등식의 우변이 한없이 커짐을 알 수 있습니다. 그렇다면, x가 한없이 커지면 부등식의 좌변 e^x / x^n도 한없이 커질 수밖에 없습니다.
위의 과정에서, 임의의 자연수 n에 대하여 x가 한없이 커지면 e^x / x^n이 한없이 커짐을 알 수 있습니다. 그렇다면 x가 한없이 커지면 x^n / e^x는 0에 수렴하겠지요. 이런 극한들에 실수를 곱한 다음 더하면, 임의의 다항함수 p(x)에 대하여 x가 한없이 커지면 p(x) / e^x 도 0에 수렴한다는 것을 알 수 있으며, 역으로 e^x / p(x)는 양의 무한대로 발산합니다.
대박이네요..
한동안 넋 놓고 쳐다보기만 했어요..
진짜 대단하시다....
그저 존경스러울뿐...
모든 것을 저 혼자서 만들어 낸 것은 아니고, 여러 가지 책에서 공부했던 것들을 참고하여 만들어 낸 것이긴 해요 ㅇ_ㅇ