수학 괴수분들께 질문드립니다. 6월 평가원 21번 문제.. 합성함수의 미분 가능성
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1. f(x) 와 g(x) 가 미분가능하다면
f(g(x))는 당연히 미분 가능하겠죠?
2. x = a 에서 f(x) 는 미분가능 g(x) 는 미분불가능이면
f(g(x))는 x = a에서 미분 가능일수도 불가능일수도 있습니다.
ex) f(x) = x^2 + 1 , g(x) = |x| 일 때 f(g(x)) 는 x = 0 에서 미분가능합니다.
3. 여기서 질문이 있습니다.
이번 6월 평가원 21번 같은 경우 f(x) = 루트 x 가 x = 0 에서 미분 가능하지 않다는 걸 이용해서
f(g(x)) 의 미분가능성을 밝혀야 하는 문제가 있었는데요
함수의 연속을 밝힐 때처럼
밖에 있는 함수인 f(x)가 미분 불가능할 때
f(g(x)) 의 미분 가능성을 조사할 때 갖춰야 하는 법칙 같은게 있나요?
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f(x)가 x=a에서 미분 불가능할때 g(x)가 a가 되는 지점 찾아서 미분 가능성 조사. 이게 끝 아닌가요?
연속에선 x = a 뿐만 아니라 g(x) = a 가 되는 지점까지 해야 하지만 미분가능성에선... 어떻게 해야할 지 모르겠네요 ㅠㅜ
똑같죠..? g(x)=/=a인 x에서 미분불가점이 어떻게 생기나요 안생기지
너무 확신을 가지고 말하긴했는데 완전히 신뢰하지는 마세요ㅠㅠ 저도 잘 못해서
이게 저도 직관적으론 그럴 것 같은데 ㅠㅜ 확실한 근거가 없어서 오르비에다 물어본거거든요 ㅠㅜ
음 합성함수 미분계수 증명보면 오류 없어보이네요
f'(g(a))에서 미분 불가능 할 때, g'(a)=0이면 미분 가능합니다
무한대 곱하기 0일 경우 따져봐야 합니다
혹시 의도가 h(x) = f(g(x)) 라고 정의했을때
h'(x) = f'(g(x)) g'(x) 이므로
f'(g(x)) 가 x -> a+ 일때와 x -> a- 일때 값이 달라 미분불가능할때
g'(a) = 0 으로 상쇄시키므로
h(x)는 미분가능하다는 뜻인가요?
제 의도가 맞다면 윗분과 마찬가지로 x = 0 에서 f'(g(x)) = 1/x 가 되는 무한대 꼴도 해석해야 하지 않을까요?
h'(x)가 미분가능한지 따질ㄸ
f'(g(x))가 x=0일때 무한대인걸 따지려면
g'(x)=가 x=0에서 0이 되는걸 따지면 되죠