대선형수학문제 질문입니다.

경제쪽인가요? 수학쪽 용어랑 아닌 것들이 막 섞여있어서, 전부를 다 설명드리긴 힘들 것 같네요.

일단 미묘한 문제가 있는데, 전체공간이 R²+ 인가요, 아니면 R² 인가요? 중요한 문제입니다.

예를 들어 Y, C, B는 모두 R²+ 에서 closed이지만, R²에서도 여전히 closed인 집합은 C밖에 없거든요.

뭐 bounded인 집합은 B밖에 없긴 하고, 이 성질은 R²+ 이냐 R²이냐에 의존하지 않긴 하지만요...

R2+ 가 맞습니다. 쪽지보냈습니다.ㅋ

참고문헌 : Principles of mathematical analysis 3rd edition, Walter Rudin
으잌
위의 책에 bounded와 closed란 개념이 간결하게 소개되어있습니다

굳이 쪽지까지 보내실 필요야...

R²+ 는 제 1사분면(1st quadrant)의 점들만 포함합니다. 즉 R²+ = { (x, y)∈R² : x, y > 0 } 으로 정의됩니다. 따라서 R² 와는 다르며, R² 의 한 open subset 중 하나입니다.



[방법 1] Y가 R²+ 에서 closed임을 보이는 가장 좋은 방법은, closed set의 연속함수에 의한 inverse image가 역시 closed임을 활용하는 것입니다. 구체적으로, f(x, y) = (√x) - y 로 두면 f(x, y)는 자명하게 연속함수가 되며, 따라서 닫힌 집합 [0, ∞) 의 f 에 의한 inverse image인 Y (직접 확인해보세요!) 는 closed set 이 됩니다.


[방법 2]
물론 직접 보일 수도 있지요. closed의 정의는 책마다 다르게 정의하곤 하지만, 크게 다음 두 가지가 있습니다.

(1) F의 원소들로 이루어진 임의의 수열 a(n)에 대하여, 만약 a(n)이 수렴하면 a(n)의 극한은 F에 속한다.
(2) F의 여집합이 open이다.

물론 둘은 동치입니다. (1)을 이용해서 증명하려면, a(n) = (x(n), y(n)) 이 (x, y) ∈ R²+ 로 수렴한다고 합시다. 그러면 a(n)은 Y 의 원소이므로, y(n) ≤ √x(n) 이 성립합니다. 이제 이 부등식에 극한을 취하면 y ≤ √x 이므로, (x, y) 역시 Y 의 점이 되고 따라서 Y는 closed입니다.


[방법 3]
아니면 (2)를 이용합시다. 즉, Y의 여집합 (R²+)-Y = { (x, y)∈R²+ : y > √x } 가 open임을 보입시다. 이 말은, (R²+)-Y 내의 임의의 점마다 그 적절한 open neighborhood가 존재하여 그 neighborhood가 (R²+)-Y 내에 속해야 합니다.

약간의 기교를 통해 이것이 참임을 보입시다. (x0, y0) 이 (R²+)-Y 내부의 임의의 한 점이라고 합시다. 그러면 y0 > √x0 이므로, y0 > c > √x0 를 만족하는 어떤 상수 c가 존재합니다. 이제 U = (0, c²)×(c, ∞) = { (x, y)∈R²+ : x < c², y > c } 으로 둡시다. 그러면 U 는 두 open interval 의 product이므로 U는 open이며, U 내부의 임의의 점 (x, y)는 √x < c < y 를 만족하므로 U 는 (R²+)-Y 의 open subset입니다. 그리고 마지막으로 U 는 x0 을 포함하지요. 따라서 U는 (x0, y0) 의 open neighborhood 이면서 (R²+)-Y 에 포함되므로, 우리가 원하는 바가 증명됩니다.



이제 Y가 bounded가 아님을 보입시다. 어떤 집합 S가 bounded라는 것은, 어떤 양수 M이 존재하여 S의 임의의 원소 x에 대해 |x| < M 임을 뜻합니다. 반대로, 어떤 집합 S가 bounded가 아니라는 것은, 임의의 양수 M에 대하여 S의 어떤 원소 x가 존재하여 |x| ≥ M 인 것입니다. 그런데 1보다 큰 임의의 실수 x에 대하여 (x, 1)은 항상 Y의 원소입니다. 그리고 |(x, 1)| = √(x² + 1) > x 이므로, 임의의 양수 M(>1)에 대하여 (M, 1) ∈Y 가 존재하여 |(M, 1)| > M 이 성립하고, 원하는 바가 증명됩니다.




솔직히 제가 이렇게 바리바리 증명을 적어보긴 했지만, 가장 좋은것은 본인이 직접 closed의 정의가 무엇이고, bounded의 정의가 무엇이며, 이것을 어떻게 주어진 집합에 끼워맞출 것인지를 고민해보는 것입니다. 스스로 개념을 잡고 고민하지 않으면 앞으로 비슷한 내용들이 아무리 많이 나와도 해결하기 힘들겠지요...