함수그래프사이의 넓이

Question

f(x)- g(x) 의 사이의 넓이를 구할려고하는데요.

그래서 제가 이렇게썻어요.  f(x)-g(x)=0 의 해가 α  β 일때            ∫ (from α to β) l f(x)-g(x) l 

근데 여기서 저는 이거 f(x)-g(x) 의 그래프 의 부호를 보고나서 풀어서 적분할려니까 이상하게 되는거에요.

근데 풀이에서는 무슨 ( β- α) ³ 가 들어간 이상한식을 만들더니 거기다가 간단하게 근과계수와의관계를 써서 β- α 를 구하고 대입하는거에요.

( β- α) ³ 가 들어간 이상한식 이거 무슨 공식있는건가요? 근데 직접 풀어서 하면 답이안나와요 ;

0.3mm · Accepted Answer

아.... 직접풀어서 해도 답이 나올거에요

이차함수에서 f(x)=0을 만족하는 두 근이 α  β 면
그 사이의 넓이는 1/6(beta-alpha)^3 이었던거 같네요 (순간 기억이 가물가물)  자주나오니 공식이라고 외웠던거 같기도

직접풀어서 해도 답 나올거에요. 어디서 무언가 계산실수가 있으셨던거 같아요

Schrodinger · Answer

f(x)=a(x-α)(x-β)라 합시다.
그런데 1/2 a(x-α)(x-β)^2을 x로 미분한 식은,
1/2 a(x-β)^2+a(x-α)(x-β)가 되는 것을 확인할 수 있습니다.
그러니까 f(x)의 부정적분은 1/2 a(x-α)(x-β)^2-1/6 a(x-β)^3 입니다.(부정적분은 사실 부분적분법으로 구할 수 있습니다)
따라서 두 근 사이의 적분값은 1/6 a(α-β)^3 입니다. a가 양수이면 두 근 사이의 넓이는 1/6 a(β-α)^3가 되겠죠.

함수그래프사이의 넓이

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