[낯선문제 마주하기 1편] 21. 정적분의 최적화
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비정기적으로 직접 만들어서 사용중인
21, 29, 30 문제를 올려볼까 합니다.
정답 및 풀이는 24시간 후 업로드하겠습니다.
(참고) 21번의 포장재로 쓰이는 표현들은 고1 수학에서 많이 나옵니다.
(작년 21번만 봐도 그렇지요)
덧. 제일 먼저 해설, 정답을 올려주신 분께는 베킨 쿠폰을 쏩니다.
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약간 바보같은 질문일수도 잇습니다만 박사 수준까지 다다르신 후에 수능 문제를 보시면 어떤 느낌이 드시나요? 고3이 유치원생 시험문제 보는 기분이려나요..ㅎㅎ
음. 고3이 유치원생 시험문제 보는 기분까지는 아닙니다. 다만 고등학교 과정에서 배우는 교과과정 상의 분류와는 조금 다르게 보이기는 합니다. 작년 수능의 경우 20번, 21번, 29번, 30번은 전형적인 수학적 최적화 문제로 분류 가능합니다. 수학과에서 열리는 수학적 최적화 내지는 공대의 최적화 수업을 들으면 아무래도 시행착오를 덜 하면서 접근할 수 있습니다. 그리고 출제하는 교수님이 '어느 교재, 어느 문제를 참고하여 출제했겠구나'를 예상할 수 있습니다. 고교 수준에서 참고자료를 찾을 수 없지만, 학부 2학년 ~ 대학원 과정까지 범위를 넓혀보면 킬러문제의 엄마격인 개념 내지는 문제들이 있는 것 같습니다.
예를 들어 작년 20번은 min(max J(x)) vs max(min J(x))가 다른 특이 케이스문제였고, 21번은 연속함수를 부분적으로 끊어서 불연속으로 만드는 상황에서의 유사접선(변곡점에서의 접선과 같이 그래프를 둘로 쪼개는 접선), 29번은 3차원 최적화 문제를 대칭의 중심을 찾아서 2차원으로 바꾸어서 푸는 문제, 30번은 함수의 합성곱을 고교 수준으로 너프시킨 것이라고, 저는 생각이 됩니다.
참고로 위 문제는 곡률반경에서 파생된 문제입니다.
오...장악하는 안목은 기본이고 문제 너머까지 예상할 수 잇는 거군요. 수능수학이 마냥 어려운 문제가 아니라 수학능력시험이라는 이름에 걸맞는 문제들임을 더욱 확신하게 되는 것 같네요. 자세한 답변 정말 감사합니다.
모든 문제까지는 아니더라도, 적어도 수능 수학의 20, 21, 29, 30은 학생들에게 굵직한 교훈을 던져줌과 동시에 변별하려는 목적을 담고 있다고 생각합니다. 작년 30번을 보면,
[1단계] 이해
1. f가 t를 내포한 다변수 함수
2. g는 f와 cospix를 곱한 후 정적분된 함수 (t에 대한)
3. g의 극소를 찾아야 하는데 g는 t에 대한 함수이므로 t에 대해서 미분을 하면 됨 (극대와 극소를 찾는 미분의 관점에서)
4. 그런데 g의 적분 구간은 상수이고 변수 t는 함수 f안에 숨어있음.
Q. 자, 극소를 찾아야 하는데, 직접적인 미분이 안된다. 어떻게 할래?
[2단계]
극대와 극소는 미분하지 않고서도 찾을 수 있다.
직접 그 함수의 그래프를 미분하지 않고 그리면 된다.
1. g는 f와 cospix를 곱한 후 '고정된 구간에서 정적분하는 것'
2. 따라서 f * cospix의 그래프를 그려서 정적분하는 것으로 관찰하면 된다. (적분을 미분하지 않고 피적분함수의 레벨에서 관찰)
3. cospix는 고정된 것, f는 t에 따라 움직이는 것이므로 f를 움직이면서 관찰하면 된다.
4. 극소는 직관적으로 잘 안보이는데...
5. 극소 친구인 극대를 한번 보자. f의 Max와 cospix의 Max가 일치하는 순간이 당연히 최댓값이다.
6. cos pix의 x축 아래의 그래프는 x축 위의 그래프에 -1을 곱한 것이니, 5에 의하여 f의 Max와 cospix의 min이 일치하는 순간이 국지 최솟값, 즉 극솟값을 만든다.
Q. 이제 계산을 하려고 보니, 적분하기가 싫은데?
[3단계]
1. f가 너저분하니 부분적분으로 죽이자. (적분을 피적분함수 일부의 도함수 레벨에서 해석)
2. 죽이면 f'이 튀어나오고, f'은 0, -1, 1 밖에 안나오니 계산이 간편하다.
어려웠던 이유는...
1. g가 미분이 되지 않음 (정확히는 형태 변형 없이는 하기가 어려움)
2. 이 때 바라보는 방법이 서로 다른 두 가지 임
(2단계-2, 3단계-1)
으..음 이제서야 말씀드리지만 문과생입니다.애써 다 써주셧는데 알아먹지를 못해 죄송하네요 ㅠㅠ 다 알지는 못하겟지만 웬만한 강의나 해설보다 훨씬 깔끔하고 실전적인 해설이라는 것만은 알겟네요. 저도 앞으로 나름대로 수능외적으로도 수학공부를 하려는만큼 올려주시는 글 항상 정독하겟습니다:)^~^ 다음번에는 작년 문과 30번 올려드리겠습니다 : ) 감사합니다.
gg..
해설 올려주세요ㅠ
네, 늦어서 죄송합니다 ~
나형은 아니죠1
가형입니다 ~
해설입니다.
!!